Ata, Mustafa Y. (2018) Bilim Felsefesi Üzerine Seçme Yazılar

İSPAT NEYİ SAĞLAR

Çok eski bir söylentiye göre Siraküz despotu Hiero, ölümsüz tanrılar tapınağına konmak üzere som altından bir adak taç yaptırmayı buyurur.Ne var ki, kuyumcu hakkında kulağına ulaşan birtakım dedikodular, onu kuşkuya düşürür; dönemin büyük bilim adamı Archimedes’den tacı zedelemeksizin altına gümüş katılıp katılmadığını saptamasını ister.Bir gün banyo alırken, Archimedes su içinde kollarının, bacaklarının her zamankinden çok daha hafif olduğunu fark etti.Ayrıca gövdesinin küvete dalması ölçüsünde küvetten suyun taştığı dikkatinden kaçmadı.Birden kafasında problemi çözecek bir yöntem belirir, küvetten sıçradığı gibi büyük sevinçle “Buldum! Buldum!” diye bağırarak çırılçıplak evine koşar.
Problemin çözümünün şu önermeye dayandığını okuyucunun bildiğini sanıyorum:Sudan daha yoğun katı bir cisim suya daldırıldığında, taşırdığı suyun ağırlığınca ağırlığından yitirir.Ancak bu temel önermenin doğruluğunu nasıl ispatlayabiliriz?Daha doğrusu, Archimedes nasıl ispatlamıştı?Banyodaki gözlemlerini çözümü bulmasına yol açmakla birlikte yeterli kanıt saymaya olanak yoktur.
Okuyucu nasıl bir ispat düşünüyor acaba?Bilimsel düşünmede olguları çıkış noktası kabul eden kişi için tutulacak yol bellidir:Yaylı terazi kullanarak birtakım cisimlerin su içindeki ve su dışındaki ağırlıklarını dikkatle ölçmek.Archimedes, bu yolu tutmayacak kadar akıllı bir bilgindir.İspatın bu olmadığını çok iyi biliyordu.Gerçekten de, önermenin ölçme sonuçlarıyla kanıtlanması hiçbir zaman yaklaşık olmaktan ileri geçmez.Su içinde yitirilen ağırlığın alınan iki ölçümünün birbirini tam tutacağı, ya da bu ağırlığın taşan suyun ağırlığına tam eşit ölçüleceği kolayca söylenemez.Kaldı ki, ölçmelerimiz ne denli çok sayıda olursa olsun, önermenin olası tüm durumlar için doğru olduğunu göstermez;deneylerimiz olanaklarımızla sınırlıdır, ne uzak geçmişe ne de geleceğe ulaşabiliriz.Sonra, bu ölçmeler, cisimler belli bir büyüklüğü aştığında, ya da, su miktarının yeterince arttırılması halinde, önermede dile gelen ilişkinin kendisini sürdüreceği güvencesini bize nasıl verebilir?Deneysel yöntem istisnaların olmayacağı güvencesini verecek nitelikte değildir.
Öyle ise Archimedes söz konusu önermeyi nasıl ispatladı? Talihimize sevinelim ki, onun yeterli bulduğu ispat, Yüzen Cisimler Üzerine adlı yapıtının günümüze kalan bölümlerinde saklı duruyor.Yüzyıllar boyunca ispatlamaya model olarak gösterilen bu çözüm, Kepler ve Galileo gibi kişilere çalışmalarında parlak bir esin kaynağı olmuştur.Çözümün ortaya çıkardığı sıvıların nitelik veya tanımı ile, onlara daldırılan cisimlerin davranış nitelikleri arasındaki zorunlu ilşkidir.Archimedes’in çözümü yakından incelemekle dedüktif akıl yürütmenin temel özelliklerini tanımış olacağız.
Archimedes incelemesine, sıvıların niteliğini tanımlamaya yarayan bir postulat ya da varsayımla başlar.Ardından bu postulata ve geometride ispatlanmış bazı teoremlere dayanarak altı önerme ispatlar.Yedinci bir önermeyi ispatlamak için postulatla birlikte önce gelen iki önermeyi daha kullanması gerekiyor.Şimdi postulatla birlikte yalnız bu iki önermeyi sıraladıktan sonra, yedinci önermenin ispatını vereceğiz.(Bunu yaparken dili biraz basitleştireceğiz.)
Postulat:Bir sıvının niteliğini öyle düşünelim ki, parçalarının tüm biteviye ve sürekli konumlarında daha az basınç altında olan bölümü daha çok basınç altında olan bölümün etkisiyle itilmiş olsun.Gene, sıvının her parçası, üzerinde dik yer alıp ya batmakta olan ya da başka bir bölümün basıncında olan bir parçanın basıncına uğrar.
Önerme 3:Yoğunluğu bir sıvını yoğunluğuna denk katı cisimler o sıvıya birakıldığında, ne sıvının yüzeyinden dışarda kalırlar, ne de daha aşağı batarlar.
Önerme 6:Yoğunluğu bir sıvının yoğunluğundan daha az olan katı bir cisim zorla o sıvıya daldırılırsa, bu cisim, ağırlığı ile, taşırdığı sıvının ağırlığı arasındaki fark’a denk bir güçle yukarı itilir.
Önerme 7 ve ispatı şöyledir:İçine konduğu sıvıdan daha yoğun olan bir cisim, sıvının dibine batar, ağırlığından taşırdığı sıvının ağırlığı kadar yitirir.
İspat:
1. Önermenin ilk kısmı açıktır:çünkü, cismin altındaki sıvı parçası, bu parçanın altındaki parçalardan daha büyük bir basınca uğrar, bu nedenle de cisim tabana ininceye dek bu parçalar itilmiş olacaktır.
2. Diyelim ki, A cismi aynı oylumdaki sıvıdan daha ağırdır.(G+H) bu cismin, G ise aynı oylumdaki sıvının ağırlığını temsil etsin.
Şimdi, aynı oylumdaki sıvıdan daha hafif B cismini alalım: B’nin ağırlığı G, aynı oylumdaki sıvının ağırlığı da (G+B) olsun.(Başka bir deyişle, B öyle seçilmelidir ki, oylumu, ağırlığı A’nın ağılığına denk sıvının oylumuna eşit olsun.)
A ile B’yi tek bir cisim olarak birleştirip sıvıya daldırdığımızı düşünelim.Şimdi, (A+B) aynı oylumdaki sıvının ağırlığında olacağından (yani iki ağırlık da (G+H)+G’ye eşit olacağından), (A+B) sıvıda durağan kalacaktır.

Öyle ise, A’yı tek başına iken batmaya zorlayan güç, B’yi tek başına iken yukarı iten güce eşit olmalıdır. Bu sonuncusu (G+H) ile G arasındaki farka eşittir. O halde, A cismi H’ye eşit bir güçle batmaktadır; yani A’nın sıvıdaki ağırlığı H’ye, ya da, (G+H) ile G’nin farkına denktir.
Okuyucu bu ispatı, dikkatle ve yineleyerek incelemelidir.Ancak bundan sonra şu soruları ele alabilir:
1. Bu ispat hangi anlamda önermenin doğruluğunu saptamaktadır? (İspatın kesinleştiğini varsayarsak!)
2. İspat kesinlik kazanmış mıdır?
3. İspatın kesinliği konunun hangi öğelerine ya da yönlerine dayanmaktadır?
İspatın mantığı üzerine açıklık istiyorsak bu soruları doyurucu biçimde yanıtlamak zorundayız.
1. Eğer ispat sağlamsa, önermede dile gelen ilişki, postulatta ifade edilen koşullara uyan tüm cisimler ve tüm sıvılar için geçerli olmalıdır.Önermeye ters düşen bir gözleme olanak olmadığı gibi, doğruluğundan emin olmak için herhangi bir deneye de gerek yoktur.Postulatı doğru sayıyorsak, önerme ile çelişecek bir deney sonucunun ilerde ortaya çıkarabileceğinden korkumuz olmamak gerekir.Ancak, “postulatı doğru sayma” koşulu son derece önemlidir.Bu demektir ki, önermenin olgusal doğruluğunu ispatlamış değiliz.Örneğin, aldığımız bir miktar suda daha yoğun bir cismin batacağını göstermedik, tabii bu su, postulatta özellikleri belirtilen sıvı türünden ise o başka.Bizim gösterdiğimiz şey, eğer su postulatta tanımlanan su türünden ise, önermede dile gelen ilişkinin bu su için geçerliliği zorunludur.Ancak postulat gerçekte, ne suyun o türden bir sıvı olduğunu göstermekte, ne de göstermeyi savlamaktadır.
Şimdi Archimedes postulatın tüm sıvılar için “apaçık doğru” olduğuna inanmış olabilir.Böyle ise kesinlikle yanılmıştır.İlerde tekrar tekrar göreceğimiz gibi (daha öncede belirtmiştik) bir önermenin görünürdeki apaçıklığı onun doğruluğu için kesin kanıt değildir. Archimedes’in inancı ne olursa olsun, postulatın doğruluğu ya da yanlışlığı ispatta bir rol oynamaz. Örneğimizde, ispatın ortaya koyduğu şey sadece şudur: Sıvı ve katı cisimlerin tanımlayıcı özellikleriyle diğer özellikleri arasındaki zorunlu ilişki.İspat, önermeler arasındaki mantıksal ilişkileri ortaya çıkarmanın ötesinde hiçbir şey yapamaz. Ele aldığımız herhangi bir sıvının postulatta belirlenen özellikleri taşıyıp taşımadığını ispattan öğrenemeyiz.
İspatta sıvının oylumu ile içine konan cismin büyüklüğünün de rol oynamadığı okuyucunun gözünden kaçmamalıdır.Nedeni şu ki, ispatlanan önerme belli bir oylumdaki sıvıyı değil sıvıyı sıvı olarak ele alan bir öncülden çıkarılmıştır.Demek oluyor ki, bir önermeyi ispatlama, birtakım öncüllerin o önermeyi içerdiğini, ya da, başka bir deyişle, önermenin o öncüllerin zorunlu sonucu olduğunu göstermektedir.
2. İkinci soruya geçebiliriz artık: İspat kesinlik kazanmış mıdır?Okuyucu kendini bir yanıta bağlamadan hemen hatırlatalım ki, önerme öncüllerin zorunlu bir sonucu ise ancak ispat kesinlik kazanır.Belirtik öncüller dışında varsayımlar gerektiren bir ispat kesin değildir.Öyle ise, belirtik öncülletin yettiğini, başka öncüllere ihtiyaç kalmadığını nasıl bilebiliriz?Bunu bilmenin bir tek yolu vardır.İspatlama sürecini, herbiri belirtik öncüller dışında hiçbir ekstre öncül gerektirmeyen bir dizi çıkarımlara ayırmak. Şimdi bu yöntemi kullanarak ispatımızı ayrıntılı bir biçimde ortaya koyalım.
İspatın ilk bölümünü şöyle gösterebiliriz:
1. Sıvının diğer parçalarından daha fazla basınca uğrayan parçası, daha az basınca uğrayan parçalar yol verir. Postulat
2. Katı cismin hemen altında bulunan sıvı parçası, bu parçanın altında yer alan parçalardan daha fazla basınca uğrar. Katı cisim hipotez gereği sıvıdan daha yoğundur.
O halde katı cismin hemen altındaki sıvı parçası, kendi altındaki parçalara yol verir.
İspatın ikinci bölümünü şöyle ifade edebiliriz.(Yollamayı kolaylaştırması bakımından her adımı bir harfle göstereceğiz.)
2a. A’nın ağırlığı (G+H)’ye eşittir.
B’nin ağırlığı G’ye eşittir.
O halde: (A+B)’nin ağırlığı (G+H)+G’ye eşittir. Hipotez
Hipotez
Bir cismin ağırlığı parçalarının ağırlığının toplamına eşittir; yani ağırlık özelliğinin toplanabilir olduğu varsayılmıştır.
b. A’nın oylumu, ağırlığı G olan sıvının oylumuna eşittir. Hipotez
B’nin oylumu, ağırlığı, (G+H) olan sıvının oylumuna eşittir. Hipotez
O halde:(A+B)’nin oylumu, ağırlığı(G+H)+G olan sıvının oylumuna eşittir.
Bir cismin oylunu, parçalarının oylumlarının toplamına eşittir; yani, oylum özelliğinin toplanabilir olduğu varsayılmıştır.Ayrıca, sıvının yoğunluğunun sabit olması gerektiği varsayılmıştır.

c. (G+H)+G; oylumu (A+B)’nin oylumuna eşit sıvının ağırlığıdır. 2 b’nin sonucu
O halde: (A+B)’nin ağırlığı oylumu (A+B) olan sıvının ağırlığına eşittir.
veya
(A+B)’nin yoğunluğu sıvının yoğunluğunun aynıdır. 2 a’nın sonucu
d. Bir cismin aynı yoğunluktaki bir sıvı içine konursa, ne suyun üstünde kalır, ne de dibe batar. Önerme 3
(A+B) içine konduğu sıvının yoğunluğundadır. 2 c’nin sonucu
O halde: (A+B) ne sıvının üstünde kalır, ne de dibe batar.
veya
(A+B) sıvıda durağan kalır.
e. Sıvının yoğunluğundan daha az yoğun olan bir cisim zorla sıvıya daldırılırsa, bu cisim, kendi ağırlığı ile taşırdığı sıvının ağırlığı arasındaki fark kadar bir güçle yukarı itilir. Önerme 6
B, içine daldırıldığı sıvıdan daha az yoğun bir cisimdir.
O halde: B kendi ağırlığı ile taşırdığı sıvının ağırlığı arasındaki fark kadar bir güçle yukarı itilir.
f. G, B’nin ağırlığındadır. Hipotez
(G+H), B’nin taşırdığı sıvının ağırlığındadır. Hipotez
O halde: B’nin ağırlığı ile taşırılan sıvının ağırlığı arasındaki fark, G ile (H+G) arasındaki farka, yani H’ye eşittir.
g. B’nin ağırlığı ile taşırılan sıvının ağırlığı arasındaki fark H’dır. 2 f’nin sonucu
B, kendi ağırlığı ile taşırılan sıvının ağırlığı arasındaki farka denk bir güçle yukarı itilir. 2 e’nin sonucu
O halde: B, H kadar bir güçle yukarı itilir.
h. (A+B) sıvıda durağan kalır. 2 d’nin sonucu
B, H’ye denk bir güçle yukarı itilir. 2 g’nin sonucu
O halde: A, H’ye denk bir güçle aşağı itilir.
veya
A’nın sıvıdaki ağırlığı H’ye eşittir. Bir cismi aynı doğrultuda etkileyen güçler cebirsel olarak toplanabilir. Bu, güçlerin toplanabilirlik özelliği ilgili bir varsayımdır.
Görüldüğü gibi, tüm ispat bir dizi farklı adımlara ayrılabilmektedir.Her adım kesin ise, ispatın tümü kesin demektir.Böylece, salt postulatı doğru saymakla, önermeyi ispatlayamadığımızı görmekteyiz.Ayrıca, ağırlık, oylum ve güç’ün toplanbilirlik özelliklerine ve bir sıvıdaki yoğunluğun değişmezliğine ilişkin dört varsayıma daha ihtiyaç var.Archimedes bu varsayımları açıkça belirtmemiştir.Bu nedenle onun verdiği ispatı kesin sayamayız.Ne var ki, bu varsayımlar öyle genel niteliktedirler ki, hemen tümfizik araştırmalarında önemlidir; yoksa Archimedes’in hidrostatik ilkesini ispatlayamayız.Kaldı ki, modern fiziğin bazı kollarında elde edilen bulgular, bunlardan birkaçının evrensel doğruluğu konusunda bizi kuşkuya düşürücü niteliktedir.Bilimlerin ilerlemesinde çıkarımlarımızı dayadığımız öncüllerin ya da varsayımların tümünün dikkatle ortaya konması son derece önemlidir.
3. Şimdi üçüncü soruyu yanıtlayabiliriz: İspatın kesinliği konunun hangi öğelerine ya da yönlerine dayanmaktadır?Gördük ki, ispatın tümü, içerdiği tüm adımlar kesinse, kesinlik kazanır.Her adımın kesin olduğunu biliyor muyuz?Biliyoruz, çünkü her adımda öncüller doğru ise, sonucun da doğru olması zorunlu: Öncüllerle sonuç rasındaki ilişki öyle ki, bu biçimdeki öncüllerin doğru, sonucun yanlış olduğu bir evren bulmaya olanak yoktur.
II. BAZI HATALI İSPATLAR
İspatın dikkatli bir çözümleme gerektirdiğini, tarihsel önemi olan iki çıkarım örneğini incelersek daha iyi göreceğiz.
1. İlk örnek Euclid sistemini geliştirmeye ilişkindir.Bilindiği gibi Euclid büyük yapıtı (Geometrinin Öğeleri)’nde işe yirmi üç tanım, beş aksiyom(bunlar tüm bilimlere ortak olan ispatlanmış genel varsayımlardı) ve beş postulat (bunlar sadece geometriye ilşkin ispatlanmış önermelerdi)’la başlar. Beşinci postulat paralel doğrulara ilişkin bir önermedir; ancak Euclid, yapıtının ilk kitabının yirmi dokuzuncu önermesine gelinceye dek onu kullanmaz.Şimdi, Euclid’i izleyenler
diğer aksiyom ve postulatları “doğruluğu apaçık” saydıkları halde, beşinci postulatı ispata muhtaç gördüler. Bir V.yüzyıl matematikçisi olan Proclus’un dediği gibi, “… dik açılarınazaltılması halinde doğruların aynı noktaya yaklaşacağı savı doğru ve zorunludur; ancak bu doğruların uzatılmasıyla aynı noktaya yaklaşım giderek daha fazla olacağından, doğruların bazen kavuşacağı savı, (doğrular söz konusu olduğunda bunun geçerli olduğunu gösteren bir argüman yokluğu halinde) akla yakınsa da zorunlu değildir…” Euclid’in yapıtında beşinci postulata ispatlamaksızın yer vermesi, yüzyıllar boyu sisteminde bir kusur sayımış, ispatı yolunda birçok girişimler yapılmıştır.
Proclus’ un bildirimine dayanarak, Ptolemy’nin verdiği bir ispatı inceleyeceğiz.Ama buna geçmeden önce Euclid’in ilgili tanım ve postulatlarına bakalım.Ona göre, paralel doğrular(Tanım, 23), aynı düzlemde iki yönde sonsuza uzatıldıklarında, birbiriyle kesişmeyen doğrulardır.Beş postulat aşağıda verilmiştir.
Postulat 1: “Bir noktadan başka bir noktaya bir doğru çizilebilir.”
Postulat 2: “Bir doğru üzerinde sonlu bir doğruyu sürekli uzatmak mümkündür.”
Postulat 3: “Verilen bir merkez ve uzaklıkla bir çember çizilebilir.”
Postulat 4: “Tüm dik açılar birbirine eşittir.”
Postulat 5: “İki doğruyu kesen bir doğrunun bir yanda yaptığı iki iç açının toplamı iki dik açının toplamından azsa, o ik doğru açıların bulunduğu yanda yeterince uzatıldığında birbirini keser.”
Euclid’in bu postulatı, 29 no.lu önermeyi, yani “Paralel doğruları kesen bir doğrunun oluşturduğu iç-ters açılar birbirine eşittir, dıştaki açı içteki ters açıya, aynı yandaki iç açılar da iki dik çaya eşittir.” ispatlamak için benimsenmişti.
Ptolemy önce bu 29 no.lu önermeyi paralel postulata başvurmaksızın ispatlayıp, sonra bundan paralel postulatın çıkarsanabilir olduğunu göstermeye çalıştı.Onun akıl yürütmesi şöyle bir çizgi izlemişti:

“Paralel doğruları kesen doğru, aynı yanda oluturduğu iç açıların toplamını, iki dik açıya eşit, ya da iki dik açıdan daha fazla veya daha az yapılmalıdır.

“AB ile CD doğrularını paralel, FG’yi de onları kesen doğru sayalım.Buna göre, (1) FG’nin aynı yanda oluşturduğu iç açıların iki dik açıdan büyük olmadığını

söyleyebiliriz. “Çünkü, eğer AFG ile CGF açıları iki dik açıdan büyük olsaydı, geriyi kalan BFG ile DGF’nin toplamı iki dik açıdan az olurdu.
“Ama aynı iki açı, aynı zamanda, iki dik açıdan büyük olmak gerekirdi;çünkü, AF ile CG doğruları FB ile GD’den daha fazla paralel değildir;öyle ki, AF ile CG üzerine düşen doğru iç açıları toplamını iki dik açıdan büyük yaparsa, FB ile GD üzerine düşen doğru da aynı şeyi yapar.
“Ancak aynı açıları, ynı zamanda, iki dik açıdan küçük saymak gerekirdi;oya, AFG, CFG, BFG, DFG diye belirlenen dört açı dört dik açıya eşit olduğundan buna olanak yoktur.
“Aynı şekilde, (2) paralel doğruları kesen doğrunun aynı yandaki iç açıları iki dik açıdan daha az yapmadığını gösterebiliriz.”
“Ancak, (3) paralel doğruları kesen doğru aynı yandaki iç açıların toplamını iki dik açıdan ne büyük ne küçük yapmıyorsa, iki dik açının toplamına eşit yapıyor demektir.”
Ptolemy’nin ispatı geçerli midir?29 no.lu önerme, 5. postulatın dışındaki aksiyom ve postulatlardan zorunlu olarak çıkarsanabilir mi?Yukarıdaki akıl yürütmeyi dikkatle inceleyerek soruyu yanıtlayalım.Ptolemy’ye göre, AFG ileCFG açılarını iki dik açıdan büyük olduğunu düşünürsek, BFG ile DFG açılarının iki dik açıdan büyük olduğunu düşünmemiz gerekir.Çünkü, paralelleri kese doğrunun bir yanındaki iç açılar için doğru olan, öteki yanındaki iç açılar için de zorunlu olarak doğrudur.Ne var ki, bu varsayım postulatlar arasında yer almamıştır.Ptolemy bunu, bir yönde AF ile CG ne denli paralel ise, öbür yönde FB ile GD de o denli paraleldir diyerek savunuyor.Ancak bunu söylemek, F noktasından CD doğrusuna sadece bir paralel çizilebileceğini söylemekten başka bir şey değildir.Bu ise ispatlamaya çalıştığı 5.postulata eşdeğer bir önermedir.
Demek oluyor ki, Ptolemy’nin ispatı başarısız kalmıştır;akıl yürütmesini dikkatle inceleseydi hatasını kendisi de görebilirdi.Gerçekten de 5. postulatın öteki postulatlara dayanılarak ispatlanamayacağını biliyoruz;çünkü, onlardan bağımsız olduğu kesinlikle gösterilmiştir(Bir postulatın diğerlerinden bağımsızlığını ispat etme yöntemini kitabımızın VIII. Bölümünde bulabilirsiniz) .Okuyucunun akılda tutması gereken nokta şudur:Bir akıl yürütme kendisini oluşturan adımlara dikkatle ayrıldığında, ispatın geçerliliği için gerekli tüm varsayımlar ortaya çıkma olanağı kazanır.Bir ispatta başvurulan varsayımların tümünü bilme, onlara alternetif olabilecek tüm olasılıklara kapıyı açık tutmak bilimsel yöntemin en belirgin özelliğidir.Entelektüel bağnazlık ve küstahlığa karşı dikebileceğimiz tek güvence de bundan ibarettir.
2. Tarihsel önemi olan ikinci bir “ispat” örneğimizi basit bir cebire ilişkin bir önermenin kanıtlanması girişimidir.Hiç kuşkusuz okuyucu, iki negatif tam sayının çarpımının daima pozitif olduğu kuralını bilir:

Örneğin,(-3)×(-4)=(+12). Bu önerme ispatlanabilir mi?Bilindiği gibi bir ispat için başka birtakım önermelerin öncül olarak doğru sayılması gerekir.Öyle görünüyor ki, sayıların toplama ve çarpma özelliklerine ilişkin aksiyomlara dayanarak cebiri sistematik bir biçimde kurmaya olanak vardır.Öyle ise şöyle sorabiliriz:İki negatif sayının çarpımının pozitif olduğunu savlıyan önermeyi, sadece pozitif sayıların toplama ve çarpma özelliklerine ilişkin varsayımlardan mantıksal olarak çıkarsayabilir miyiz.
Ne yazık ki, cebirin sistematik biçimde kurulması son derece soyut olup kavranması için üst düzeyde zihinsel olgunluğa ihtiyaç vardır.Bu nedenle cebir yeni başlayanlara sanki bir yığın kuraldan ibaret imiş gibi öğretilir.Bununla birlikte, bazen önemli kuralları ispatı verilmek istenir; Örneğin, iki negatif sayının çarpımına ilişkin önermeyi kanıtlama yolunda çok kez şöyle bir akıl yürütmeye gidildiğini görürüz.(Bu akıl yürütmede negatif sayıların çarpımına ilişkin kuralın, pozitif sayıların toplma ve çarpımına ilişkin kuralların mantıksal bir sonucu olduğu ortaya konmaya çalışılır.)
Kenarları a ve b olan şu dikdörtgeni alalım:

Düzlem geometrinin bir teoremi gereğince bu dikdrtgenin alanı ab’dir.Taranmış bölümün (kenarları a-c ve b-d olan küçük bir dikdörtgenin) alanı ise (a-c)(b-d)’ye eşittir.İstersek bunu büyük dikdörtgen ve taranmış küçük dikdörtgenleri kullanarak da gösterebiliriz.Şekle baktığımızda, taranmamış dikdörtgenin alanını, büyük dikdörtgenin alanından kenarları b ve c olan dik taranmış dikdörtgenin alanı (yanibc) ile kenarları a ve d olan dik dikdörgenin alanı (yani ad)nı çıkarıp, hem dik hem yatık taranmış dikdörtgenin alanı(yanicd)nı ekleyince bulabileceğimizi hemen görürüz. Bunu 1 no.lu denkleme şöyle yazabiliriz:
(a-c)(b-d) =ab-bc-ad+cd.
Şimdi a ve b’ye 0 değeri verirsek, 2 no.lu şu denklemi:
(0-c) (0-d) =0.0-0.c-0.d+cd;
ya da 3 no.lu şu denklemi:
(-c) (-d) =(+cd)
elde ederiz.Böylece, iki negatifin çarpımı pozitiftir sonucuna ulaşılmış olur.
Ancak bu ispat geçerli midir?Geçerli olmadığını kolayca gösterebiliriz. Çünkü 1 no.lu denklem, a ile b’nin 0’a eşit olmadığı varsayımına dayanıyordu. (1 no.lu denklemin a ile b’nin tüm değerleri için doğru olduğu varsayımına) dayanmaksızın 3 no.lu denklemi 1 no.lu denklemden elde etmemize olanak yoktur. Ne var ki, bu yeni varsayım, pozitif sayıların toplama ve çarpma işlemleri için doğru olan tüm kuralların negtif sayılar için de doğru olduğu varsayımına eşdeğerdir.Oysa ispatlanmak istenen varsayım da budur.
Negatif sayılara ilişkin işlem kurallarının, pozitif sayılara ilişkin olanlardan bağımsız olduğunu bilmekteyiz aslında. Bir kez daha, bir argümanı, içerdiği bir dizi adımlara ayırıp gözden geçirmenin değerini görüyoruz.Nasıl ki, Euclid’in 5. Postulatını ispat etmek için varsayımların incelenmesi Lobatchevsky ile Bolyai’yi Euclid’çi olmayan geometrileri bulmaya götürdüyse, aynı şekilde cebirin temel kurallarının incelenmesi de Sir William R. Hamilton ile H.G. Grassmann’ın değişik cebirsel sistemler bulmasına yol açmıştır.Euclid’çi olmayan geometriler ve daha genel cebirsel sistemler olmasaydı, modern fiziğin tanık olduğumuz atılamlarına pek olanak olmayacaktı.İspatta, başvurulan tüm varsayımları belirtik kılma yönteminin sağladığı önemli sonuçları gözden uzak tutmamak gerekir.Mantıksal yöntemin bilim tarihindeki rolü yakından bilinmedikçe, uygarlığımız yönünden değerini açıklığa kavuşturamayız, herhalde.

___________
Cohen, Morris R.-Nagel, Ernest() An Introductıon to Logic and Scientific Method, s. 407-417’den çevrilmiştir.(C.Y.)

Güncelleme: 17 Haziran 2017