Burada gösterildiği biçimiyle tahmin yöntemi, nokta tahmin olarak da adlandırılır. Uygulamada güven aralıkları tahmini çok daha önemlidir. Söylenmek istenen, \(E\) örnek uzayının bir noktası olmak üzere, gözlemlerin \(\underline\theta \left( E \right)\text{ ve }\bar{\theta }\left( E \right)\) gibi iki işlevini belirlemeli ve ölçümötesinin \(\delta \left( E \right)=\left[ \underline\theta \left( E \right)\text{, }\bar{\theta }\left( E \right) \right]\) aralığında olmasını tahmin etmeliyiz. Aralık tahminine ilişkin olarak, R.A.Fisher, güven olasılığı ve güven erimleri fikrini ileri sürerken, Neyman klasik olasılık kuramı üzerine kurulu aralık tahmin kuramını geliştirdi[8]. Burada, Neyman kuramının kısa bir özetini vereceğim.
Örnek seçiminden önce, \(E\) noktası rassal bir değişgendir ve, bundan dolayı, \(\underline\theta \left( E \right)\text{ ve }\bar{\theta }\left( E \right)\) işlevleri de birer rassal değişgendir. Dolayısıyla, \(\theta\) yalnızca sabit bir bilinmeyen olarak görülse de, örnek çekiminden önce,
\[\underline\theta \left( E \right)\text{ < }\theta \text{ < }\bar{\theta }\left( E \right) \text {……………………..(3)}\]
olasılığından söz edebiliriz. Diyelim ki, belli bir \({{E}_{0}}\) örnek noktasının elde edildiği örnek çekiminden sonra, \(\theta\) yalnızca bir sabit ise,
\[\underline \theta \left( {{E}_{0}} \right)\text{ < }\theta \text{ < }\bar{\theta }\left( E _ 0 \right) \text {…………………….(4)}\]
olasılığından söz etmek anlamlı değildir. (4) eşitsizliğindeki her terim belirlenmiş bir sabittir ve (4) eşitsizliği bu sabitlerin belirli değerleri için doğru ya da yanlıştır. Eğer \(\theta\)’nın kendisi, öncül olasılık dağılımı olarak adlandırılan belli bir olasılık dağılımına sahip rassal bir değişgen olarak görülebilirse, (4)’deki olayın olasılığından söz edilebilir. Bu durumda, olasılık deyince, (4)’ün ardındaki, \(E={{E}_{0}}\) olduğu varsayımı altında, ardıl dağılım olarak da adlandırılan koşullu olasığı anlarız. Eğer, \(\theta\)’nın öncül bir dağılımı varsa ve bu dağılım biliniyorsa, o zaman Bayes teoremini kullanarak, \(\theta\)’nın öncül dağılımını kolayca bulabiliriz. Ancak, uygulamada, öncül dağılımın varlığı varsayımının geçerli olduğu durumlarla nadiren karşılaşılır; son varsayımın yapılabildiği bu nadir durumlarda bile, öncül olasılık dağılımının biçimini genellikle bilmeyiz ve bu da Bayes teoremi nin uygulanmasını olanaksız yapar. Bu nedenlerle aralık tahmin kuramı, geçerliği öncül bir dağılımın varlığına bağlı olmayacak biçimde geliştirilmek zorundadır. Bundan ötürü, bu kuramda yalnızca (3)’teki olasılıktan söz edilecek ve asla (4)’teki olasılıktan söz edilmeyecektir.
Her hangi bir \(R\) ilişkisi için, ölçümötesinin gerçek değerinin \(\theta\) olduğu varsayımı altında hesaplan \(R\)’nin olasılığını \(O\ell \left( R\left| \theta \right. \right)\) ile göstereceğiz.
Eğer, tüm \(E\) noktaları için, \(\underline \theta \left( E \right) \le \bar{\theta }\left( E \right) \) ve, güven katsayısı \(\alpha\) belirlenmiş sabit bir olmak üzere, \(\theta\)’nın tüm değerleri için, \(O\ell \left[ \underline \theta \left( E \right)\le \theta \le \bar{\theta }\left( E\right)\left| \theta \right. \right]=\alpha \) ise, \(\underline \theta \left( E \right)\text{ ve }\bar{\theta }\left( E \right)\) işlev ikilisine, \(\theta\)’nın güven aralığı denir.
Güven aralığının pratik anlamı ve önemi şudur: Eğer büyük sayıda örneklem çekilir ve her örneklemden, \(\theta\) ‘nın \(\delta \left( E \right)=\left[ \underline\theta \left( E \right)\text{ }\text{, }\bar{\theta }\left( E \right) \right]\) aralığında olduğu öngörülürse, doğru öngörülerin göreli sıklığı yaklaşık olarak \(\alpha\)’ya eşittir.
Genel olarak, sabit bir güven katsayısı \(\alpha\)’ya ilişkin sonsuz çoklukta güven aralığı bulunur ve bunların arasında seçim için kimi kurallar koymamız gerekir. Açıktır ki, sabit bir güven katsayısı \(\alpha\)’ya ilişkin güven aralığının olabildiğince “dar” olmasını isteriz. “En dar” güven aralığı nın tam bir tanımını vermemiz gerekir.
Eğer,
\(O\ell \left[ \underline \theta \left( E \right)\le \theta \le \bar{\theta }\left( E \right) \left| \theta \right. \right]=\alpha \)
ve (a)’yı sağlayan her \(\delta'(E)\) güven aralığı ve \(\theta\)’nın tüm \({\theta }’\text{ ve }{\theta }”\) değerleri için,
\[O\ell \left[ \underline \theta \left( E \right)\le \theta’ \le \bar{\theta }\left( E \right) \left| \theta” \right. \right] \le O\ell \left[ \underline \theta’ \left( E \right)\le \theta’ \le \bar{\theta’ }\left( E \right) \left| \theta” \right. \right] \]
ise \(\delta \left( E \right)=\left[ \underline\theta \left( E \right) \text{, }\bar{\theta }\left( E \right) \right]\) güven aralığına, güven katsayısı \(\alpha\)’ya karşılık gelen “en dar” güven aralığı denir. Eğer bir en dar güven aralığı varsa, en üstün olduğu görülür. Ne yazık ki, en dar güven aralıkları yalnızca olağanüstü durumlarda vardır. Dolayısı ile, seçimin dayanacağı daha başka kurallar getirmek gerekir. Böyle bir kural, sapmasızlık kuralıdır.
Eğer, \(O\ell \left[ \underline \theta \left( E \right)\le \theta \le \bar{\theta }\left( E \right) \left| \theta \right. \right]=\alpha \)
\(O\ell \left[ \underline \theta \left( E \right)\le \theta \le \bar{\theta }\left( E \right) \left| \theta \right. \right]=\alpha \) ve tüm \({\theta }’\text{ ve }{\theta }”\) değerleri için, \(O\ell \left[ \underline\theta \left( E \right)\le {\theta }’\le \bar{\theta }\left( E \right)\left| {{\theta }”} \right. \right]\le \alpha \) ise, \(\delta \left( E \right)\) güven aralığına, güven katsayısı \(\alpha\)’ya karşılık gelen sapmasız güven aralığı denir.
Güven katsayısı \(\alpha\)’ya karşılık gelen sapmasız bir güven aralığı \(\delta \left( E \right)\)ve aynı güven katsayılı her hangi bir başka sapmasız bir güven aralığı \({\delta }’\left( E \right)\) olmak üzere, tüm \({\theta }’\text{ ve }{\theta }”\) değerleri için,
\[O\ell \left[ \underline \theta \left( E \right)\le {\theta }’\le \bar{\theta }\left( E \right)\left| {{\theta }”} \right. \right]\le O\ell \left[ {\underline \theta }’\left( E \right)\le {\theta }’\le {\bar{\theta }}’\left( E \right)\left| {{\theta }”} \right. \right]\] ise,
\(\delta \left( E \right)\), sapmasız en dar güven aralığı olarak adlandırılır.
Sapmasızlık ilkesini kabul edersek, en dar sapmasız güven aralığı, en elverişli görünendir. En dar sapmasız güven aralıkları da, karşılaşılabilecek durumların yalnızca kısıtlı ama önemli bir sınıfında vardır. En dar sapmasız güven aralığı yoksa, Neyman, “sapmasız dar” güven aralığı adını verdiği üçüncü tür bir güven aralığının kullanılmasını önerir. Tüm \({\theta }’\) değerleri ve \(\alpha\) güven katsayılı sapmasız tüm \({\delta }’\left( E \right)\) güven aralıkları için,
\[{{\left. \frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{{{\theta }”}}^{2}}}O\ell \left[ \underset{\scriptscriptstyle-}{\theta }\left( E \right)\le {\theta }’\le \bar{\theta }\left( \text{E} \right)\left| {{\theta }”} \right. \right] \right|}_{{\theta }”={\theta }’}}\le {{\left. \frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{{{\theta }”}}^{2}}}O\ell \left[ {\underset{\scriptscriptstyle-}{\theta }}’\left( E \right)\le {\theta }’\le {\bar{\theta }}’\left( \text{E} \right)\left| {{\theta }”} \right. \right] \right|}_{{\theta }”={\theta }’}}\] ise, \(\alpha\) güven katsayılı sapmasız güven aralığı \(\delta \left( E \right)\), sapmasız dar güven aralığı olarak adlandırılır.
Tek bir bilinmeyen ölçümöte durumunu tartıştım. Farklı ölçümöteler durumunda, tek ölçümöte durumunda karşılaşılmayan kimi yeni sorunlar ortaya çıkar. Ancak, tek ölçümöte durumu, Fisher, Neyman ve Pearson kuramlarının temel düşüncelerinin iyi bir açıklamasını vermiş olduğundan, bunları tartışmayacağım.