3.3 Düzgünleştirme Yöntemleri

Düzgünleştirme yöntemleri, kestirimler üzerinde uzak geçmişe göre yakın geçmişi daha etkin yaparak zaman dizisini üreten sürecin zamana bağlı beklenen değerini tahmin etmede yararlanılan yöntemlerdir. Bu yöntemlerin özü, diziyi üreten sürecin belirti bileşeni zamanın belli bir işlevi ile modellenerek söz konusu model ölçümöteleri tahminlerini en son gözleme göre güncellemektir.

Özgün dizi ile belirti bileşeninin tahmini olan düzgünleştirilmiş dizinin farklarından oluşacak karmaş bileşeninin tahmini olan dizisi, genel anlamda eğilimden arındırılmış durağan bir dizidir. Dolayısı ile düzgünleştirme yöntemleri, dizisinin ak-karmaş süreci tarafından üretildiği doğrulanmak koşuluyla kestirim amacıyla; aksi durumda ise, dizinin eğilimden arındırılması amacıyla kullanılabilir.

Düzgünleştirme Yöntemlerinin Temel Mantığı

Bu bölümde tanıtacağımız düzgünleştirme yöntemlerinin temel mantığı, sezgisel olarak, istatistiksel modeli

olan sabit süreç ölçümötelerinin tahmin edicileri ele alınarak açıklanabilir. ’teki sabit süreç tarafından üretilmiş bir dizinin u adım ileri kestirimi, ’nün sapmasız tahmin edicisi,

ile yapılabilir. Ancak, ’teki sabit bir süreç olsa da, beklenen değerin zamana bağlı değişgenlik gösterebileceğini her zaman göz önünde tutmak daha doğru olur.

Basit Hareketli Ortalama

Bu nedenle, geçmiş tüm gözlemlerin eşit ağırlıklı bir ortalaması olan ’teki tahmin edici yerine,

biçiminde yalnızca en son m tane gözlemin eşit ağırlıklı aritmetik ortalaması olan bir tahmin edici daha iyi kestirimler üretebilir.

’teki eşit ağırlıklı aritmetik ortalama, dizinin m. gözleminden başlanarak Z-m gözlem değeri için hesaplanırsa, aynı zamanda 1 adım ileri kestirim değerleri olan, özgün dizinin m terimli basit hareketli ortalama yöntemi ile düzgünleştirilmiş

değerlerini verir. Görüldüğü üzere, bu yönteme göre kestirimler yalnızca en son m tane gözlem değerinden eşit ağırlıklı olarak etkilenmiş olacaktır.

Üstel Ağırlıklı Hareketli Ortalama

’nin bir başka tahmin edicisi, (0,1) aralığındaki düzgünleştirme ölçümötesi olmak üzere,

biçimindeki tüm gözlemlerin üstel ağırlıklı hareketli ortalaması olarak tanımlanabilir. ’deki ağırlıkların geriye gittikçe üstel olarak azalmasıyla yine yakın geçmişin kestirimler üzerinde daha fazla etkin olması sağlanır.

Bu bağlamda, düzgünleştirme yöntemlerinin bir belleği olduğundan söz edebiliriz. ’teki basit hareketli ortalamadaki terim sayısı m ve ’deki üstel ağırlıklı hareketli ortalamadaki düzgünleştirme ölçümötesi yöntemin belleğini belirler. Basit hareketli ortalamadaki gözlem sayısı m değerine daha kolay karar verilebilir, ancak üstel ağırlıklı hareketli ortalama yöntemi yeğlenebilir. Her iki yöntemdeki gözlemlerin ortalama yaşlarının ya da değişkelerinin denkliğini sağlayan

ilişkisinden yararlanılarak uygun m değerine karşılık gelen α değeri elde edilebilir.

Basit Üstel Düzgünleştirme

Üstel ağırlıklı hareketli ortalamanın ’deki tanımı açılırsa, sabit süreç ölçümötesinin bir adım önceki tahmini ile en son gözlemin ağırlıklı ortalaması biçiminde güncelleyen ve üstel düzgünleştirme yöntemi olarak adlandırılan

denklemi elde edilir.

’deki tanımın, sabit süreç ölçümötesinin ağırlıklı en küçük kareler tahmin edicisi (AEKKT) olduğu gösterilebilir. Sabit sürecin ağırlıklı hata kareler toplamı(AHKT) süreç ölçümötesi ’nün işlevi olarak

biçiminde tanımlanır ve

denklemi çözülürse elde edilir.

Uyarı: Basit hareketli ortalama ve basit üstel düzgünleştirme yöntemlerinin kestirim amaçlı kullanılması yalnızca tek ölçümöteli sabit süreç tarafından üretilmiş diziler için söz konusudur. Bir diziyi üreten süreç modeline bağlı olarak Holt’un doğrusal eğilimli-üstel eğilimli, Winters’in doğrusal ve mevsimsel eğilimli ve Brown’ın genel eğilimli süreçlere uyarladığı bu düzgünleştirme yöntemlerinin kestirim amaçlı özel biçimleri ileride ele alınacaktır.

Örnek 3.1 Düzgünleştirme üzerine buraya kadar verilen bilgileri şimdi toplu bir örnek ile pekiştirelim. Veri Tabanının “Sabit Süreç” sayfasında SabitSüreç makrosu her çalıştırıldığında süreci tarafından üretilmiş bir zaman dizisinin aşağıda verilene benzer değerleri ve grafiği görülecektir.

Dizinin zaman grafiğinden de, beklenen değeri 5 olan sabit bir süreç tarafından üretildiği açıkça görülmektedir.

Dizinin beklenen değerini hareketli ortalamalar yöntemiyle tahmin etmek için yazılan HareketliOrtalamalar makrosunun algoritmasında, doğrudan ’teki tanım yerine, gözlemleri bir önceki düzgünleştirilmiş değeri kullanarak düzgünleştiren

biçimini kullanmak daha uygundur.

ve ’deki düzgünleştirme algoritmaları bir başlangıç değeri gerektirir. Hareketli ortalamalarla düzgünleştirme için başlangıç değeri ilk m gözlemden ’e göre

biçiminde elde edilir. Üstel düzgünleştirmedeki başlangıç değeri için de,

kullanılabilir. Başlangıç değerinin kestirimler üzerindeki etkisinin ortadan kalkması için kaç gözlem olması gerektiği, basit üstel düzgünleştirmenin ’deki ağırlıklı hareketli ortalama tanımından hareket ederek bulunabilir. ,

biçiminde yazılırsa, başlangıç değeri ’ın Z’ye bağlı ağırlığının belli bir değerinden daha küçük olması için gerekli en az gözlem sayısı,

ilişkisi Z için çözülerek ,

biçiminde elde edilir.

’daki algoritmaya göre yazılan HareketliOrtalama makrosu çalıştırıldığında, sütunundaki gözlenen değerlerin m terimli hareketli ortalama yöntemiyle düzgünleştirilmiş değerleri HO sütununda görülecektir. Yeni veri kümeleri ile çalışmak için sütun başlıkları dışındaki hücreler temizlendikten sonra sırasıyla diziyi üreten SabitSüreç ve ardından hareketli ortalama yöntemine göre diziyi düzgünleştiren HareketliOrtalama makrolarını çalıştırmak gerekir. Veri Tabanının “Sabit Süreç” sayfasında bunlar uygulandığında aşağıdakine benzer bir çıktı elde edilir.

Verilen örnekte, hareketli ortalamalardaki gözlem sayısı m=4 alınmıştır. SabitSüreç ve HareketliOrtalama makroları yeniden düzenlenerek model ölçümöteleri, üretilecek gözlem sayısı ve hareketli ortalamalardaki gözlem sayısı istenen değerlere ayarlanabilir. Hareketli ortalamalardaki gözlem sayısı, dizinin zaman grafiği incelenerek ya da farklı m değerlerine göre elde edilecek kestirimlerin hata kare toplamları enküçüklenerek belirlenebilir. Bunun için olası m değerlerini girdi olarak alan ve her m değeri için,

biçimdeki kestirim hata kare toplamlarını enküçükleyerek en uygun m değerine karar verecek biçimde HareketliOrtalama makrosu kolayca geliştirilebilir.

Benzer biçimde Veri Tabanının “Sabit Süreç” sayfasında ’deki algoritmaya göre yazılmış olan ÜstelDüzgünleştirme makrosu çalıştırıldığında, süreci tarafından üretilmiş dizinin, işlem sayfasının ÜD sütununda düzgünleştirme ölçümötesi olmak üzere üstel düzgünleştirilmiş değerlerinin ve zaman grafiğinin yer aldığı aşağıdakine benzer bir çıktı elde edilir.

Grafikten de görüldüğü üzere, bu yöntemlere düzgünleştirme yöntemleri denmesinin nedeni, süreç beklenen değerinin tahmini olan düzgünleştirilmiş dizilerin özgün diziye göre daha düzgün bir yol izlemesidir. Yine grafikten hareketli ortalama dizisinin üstel düzgünleştirilmiş diziye göre özgün diziye daha çok uyumlu olduğu görülmektedir. Uyum farklılığı düzgünleştirme yöntemlerinin belleklerindeki farklılıktan kaynaklanır. Düzgünleştirme yönteminin bellek ölçüsünün gözlemlerin ortalama yaşı olduğu daha önce belirtilmişti. m=4 terimli hareketli ortalamalarla düzgünleştirilmiş dizinin ortalama yaşı, en son gözlemin yaşını göstermek üzere,

ve düzgünleştirme ölçümöteli üstel düzgünleştirilmiş dizinin ortalama yaşı da,

olarak hesaplanır. Dolayısı ile, belleği görece zayıf olan hareketli ortalamalarla düzgünleştirilmiş dizi özgün diziye daha hızlı uyum sağlamıştır. Üstel düzgünleştirilmiş dizinin de aynı belleğe sahip olması, ’e göre

alınarak sağlanabilir.

ÜstelDüzgünleştirme makrosu, için güncellenerek çalıştırılırsa, aşağıdakine benzer bir çıktıda, hareketli ortalamalarla aynı belleğe sahip üstel düzgünleştirilmiş dizinin de aynı uyumu gösterdiği görülecektir.

Buraya kadar kullandığımız veriler benzetimle elde edilmiş verilerdi. VeriTabanı’nda gerçek verilerle çalışılmak istenildiğinde, SabitSüreç üretecini çalıştırmak yerine, temizlenmiş işlem sayfasındaki yz sütununa gözlemsel dizinin girilerek düzgünleştirme makroları çalıştırılmalıdır.

Kestirim Amaçlı Özel Düzgünleştirme Yöntemleri

Önceki kısımda açıklanan basit düzgünleştirme yöntemlerinin sabit bir süreç tarafından üretilmemiş dizilerin kestiriminde doğrudan kullanılması, süreç beklenen değerinin yanlış modellenmesi anlamına gelir. Yanlış modele dayalı kestirimlerin de olağan dışı hatalı olacağı açıktır.

Örnek 3.2 VeriTabanı’nda DoğrusalEğilim makrosu çalıştırıldıktan sonra, HareketliOrtalama ve ÜstelDüzgünleştirme makroları çalıştırılırsa, süreci tarafından üretilmiş bir dizinin basit hareketli ortalama ve basit üstel düzgünleştirme yöntemleri ile elde edilen aşağıdaki çıktıya benzer düzgünleştirilmiş değerleri elde edilir.

Büyük çoğunluğu özgün dizinin altında kalan düzgünleştirilmiş dizilerin grafiklerinden de anlaşılacağı üzere, bu değerlerin kestirim amaçlı kullanılması durumunda basit hareketli ortalamaların

kadar sapmalı olduğu gösterilebilir. Doğrusal eğilimli bir dizinin kestiriminde basit üstel düzgünleştirme yönteminin kullanılması durumunda da aynı sapma ile karşılaşılır.

Doğrusal eğimli bir dizinin düzgünleştirme yöntemi ile sapmasız kestirimlerini üreten

Alıştırmalar

Hareketli ortalamaları alınarak ve üstel düzgünleştirme ile oluşturulan dizilerin

ortalama yaşlarını ve

değişkelerini denkleyerek

hareketli ortalamalardaki gözlem sayısı m ile üstel düzgünleştirme ölçümötesi α arasında ilişkisi olduğunu gösteriniz.

sabit sürecinin μ ölçümötesine ilişkin

EKHK tahmin edicisinin olduğunu gösteriniz.

m terimli hareketli ortalamanın sapmasız bir tahmin edici olduğunu gösteriniz.

Üstel düzgünleştirilmiş değerin

tüm gözlemlerin ağırlıklı bir ortalaması olduğunu

sabit süreç beklenen değerinin AEKK tahmin edicisi olduğunu olduğunu gösteriniz.

sabit sürecine ilişkin dizinin ilk 40 değerini kullanarak son 10 gözleme ilişkin kestirim değerlerini

basit hareketli ortalamalar yöntemi;

basit üstel düzgünleştirme yöntemi ; ve

EKHK yöntemi ile bulunuz ve

OKH kıstasına göre en iyi kestirim yöntemini belirleyiniz.

Doğrusal eğilimli bir dizinin kestiriminde üstel düzgünleştirme yönteminin kullanılması durumunda karşılaşılacak sapmayı bulunuz.

VERİ TABANI

⇦⇧⇨

PROGRAMLAR

[ <attributelist> ] [ accessmodifier ] [ proceduremodifiers ] [ Shared ] [ Shadows ] [ Async | Iterator ]

Function name [ (Of typeparamlist) ] [ (parameterlist) ] [ As returntype ] [ Implements implementslist | Handles eventlist ]

[ statements ]

[ Exit Function ]

[ statements ]

End Function

Function myFunction(ByVal j As Integer) As Double

Return 3.87 * j

End Function

DoğrusalEğilim

Sub DoğrusalEğilim()

Dim i As Integer

Pi = 3.14159265358979

Z = 15

a = 5: b = 0.1

For i = 1 To Z

Cells(i + 2, 1).Value = i

Cells(i + 2, 2).Value = a + b * i + Sqr(2) * Sqr(-2 * Log(Rnd)) * Sin(2 * Pi * Rnd)

Next

End Sub

HareketliOrtalama

Sub HareketliOrtalama()

Dim i As Integer

m = 4

Z = 15

'Başlangıç değeri

For i = 1 To m

T = T + Cells(i + 2, 2).Value

Next

Cells(m + 2, 3).Value = T / m

For j = m + 1 To Z

Cells(j + 2, 3).Value = (Cells(j + 2, 2).Value - Cells(j - m + 2, 2).Value) / m + Cells(j + 1, 3).Value

Next

End Sub

SabitSüreç

Sub SabitSüreç()

Dim i As Integer

Pi = 3.14159265358979

Z = 15

For i = 1 To Z

Cells(i + 1, 1).Value = i

Cells(i + 1, 2).Value = 5 + Sqr(2) * Sqr(-2 * Log(Rnd)) * Sin(2 * Pi * Rnd)

Next

End Sub

ÜstelDüzgünleştirme

Sub ÜstelDüzgünleştirme()

Dim i As Integer

alfa = 0.1

Z = 15

'Başlangıç değeri

Cells(3, 4).Value = Cells(3, 2).Value

For j = 2 To Z

Cells(j + 2, 4).Value = alfa * Cells(j + 2, 2).Value + (1 - alfa) * Cells(j + 1, 4).Value

Next

End Sub

Sözlük

ardışım sequence

ardışık sequential

belirti signal

izge spectrum

izgesel spectral

karmaş noise

sıklık frequency