Beşi Bir Yerde

Matematiğin beş temel sabiti,

1. doğal logaritmanın tabanı e aşkın sayısını,
2. sanal birim \(i=\sqrt{-1}’\)i,
3. bir dairenin çevresinin çapına oranı olan aşkın sayı \(\pi’\)yi
4. çarpma işleminde etkisiz eleman olan ilk doğal sayı \(1’\)i
5. toplama işleminde etkisiz eleman olan ilk tam sayı \(0’\)ı

tek bir denklemde birleştiren $$e^{\pi i}+1=0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1) $$

Euler özdeşliği, estetik açıdan matematiğin en güzel denklemlerinden biridir.

Euler özdeşliğinin, \( \theta = \pi \) için, genel durumu olan $$e^{\theta i}=\cos \theta + i \sin \theta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)$$ Euler formülü ile, matematik ve mühendislik alanlarında karşılaşılan karmaşık fonksiyonlarla ilgili işlemler basitleşir:

• \(\cos (\alpha + \beta)= \cos \alpha \cos \beta – \sin \alpha \sin \beta \) ve \(\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) özdeşlikleri \(e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta}\) kullanılarak kolayca ispatlanır,
• Ses, görüntü, ve haberleşme sistemlerinde sinyaller \(Ae^{i\omega t}\) biçiminde modellenir; Fourier serileri özlü ve sıkı olarak, \(f(x)=\sum_{n=-\infty} ^{\infty} c_n e^{inx}\) biçiminde yazılabilir,
• Kutupsal gösterimle \(z = re^{i\theta}\) karmaşık sayısının n‘inci kuvveti \(z^n=r^n e^{in\theta}\) örneğinde olduğu gibi, karmaşık analizde, üs ve kök alma işlemleri kolaylaşır.

“Beyin taramaları, matematiksel formüllerdeki karmaşık sayı ve harf dizilerinin, sanat eserlerinin ve en büyük bestecilerin müziklerinin uyandırdığı güzellik duygusunun aynısını uyandırabileceğini gösteriyor.” [1] Diferansiyel denklem sistemleri de dahil olmak üzere daha birçok uygulama alanı olan, ve teorik fizikçi matematiksel analiz eseri Introductio in analysin infinitorum‘da dile getirilen Euler formülünün doğrudan bir sonucu olan Euler özdeşliğinin, bileşenleri ile ilgili temel bilgileri hatırlatarak bu senfoniyi icra etmeye başlayacağız.

Başvurular

[1] Gallagher, James (2014) Mathematics: Why the brain sees maths as beauty Hausner, Ryan (1925) Proof of Euler’s Identity and Formula