-
Matematiğin 5 temel sabit sayısı olan 0, 1, π=3,141592653…., e=2,718281828…., ve
\(i=\sqrt { – 1} \) sayılarının bir araya getirildiği ve toplama, çarpma ve üs alma işlemlerinin yalnızca bir kere kullanıldığı İsviçreli matematikçi Leonhard Euler(1707-1783)’ın -
$$e^{i\pi}+1=0…………………………………………………(1)$$ özdeşliği, matematiğin güzelliğini sergileyen en güzel örneklerden biridir.
Euler özdeşliğini elde etmek için önce \(e\) sayısı ve \(e^z\) üstel işlevini tanımlayacak ve ardından işlevlerin seri açılımlarından yararlanacağız.
Euler(1748)’den sonra \(e\) ile gösterilen ve Jacob Bernoulli(1683)’yi $$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}………………………………………….(2)$$ sayısına götüren sürekli bileşik faiz sorununda olduğu gibi bir büyüklüğün mevcut değerine orantılı bir hızda artması ya da azalması, $$e = x = 2,718281828….$$ değeri,
- $$\int\limits_1^x {\frac{1}{t}dt} $$
denkleminin çözümü olmak üzere,
$$e^z………………………………………………………..(3)$$
üstel işlevi ile gösterilir. Üstel işlev hesabı üzerine çalışmalar daha sonra 1697’da Johann Bernoulli ile devam etti.
Jacob Bernoulli’nin \(e\) sayısına nasıl ulaştığını görmek için, yıllık enflasyonun %100’den yüksek olduğu ancak vadeli hesaplara uygulanabilecek yıllık faiz oranının da %100’le sınırlandırıldığı bir ortamda rekabet eden bankaların müşteri çekmek için vade sürelerini kısaltmaktan başka seçeneklerinin bulunmadığını düşünelim. Bu durumda 1₺’lık vadeli hesap açan birisinin yıl sonuna kadar hesabından hiç para çekmemesi durumunda seçmiş olduğu vade sürelerine göre yıl sonunda hesabındaki miktarlar aşağıdaki çizelgede gösterildiği gibi olurdu.
| Vade | Vade Sonlarında | Yıl Sonunda |
|---|---|---|
| 12 ay | \((1+\frac {1}{1})\times 1₺ =2₺\) | \(2₺\) |
| 6 ay | \((1+\frac {1}{2})\times 1₺ =1,5₺\) | \((1+\frac {1}{2})^2\times 1₺ =2,25₺\) |
| 3 ay | \((1+\frac {1}{4})\times 1₺ =1,25₺\) | \((1+\frac {1}{4})^4\times 1₺ =2,44₺\) |
| 1 ay | \((1+\frac {1}{12})\times 1₺ =1,0833₺\) | \((1+\frac {1}{12})^{12}\times 1₺ =2,613₺\) |
| 1 gün | \((1+\frac {1}{365})\times 1₺ =1,00027₺\) | \((1+\frac {1}{365})^{365}\times 1₺ =2,715₺\) |
- Sonsuz kısa vade süresinde yukarıdaki örnek için bileşik faiz uygulanması durumunda 1₺ sının yıl sonunda ulaşabileceği üst sınırın matematiksel tümevarım yoluyla (1)’de tanımlanan \(e\) sayısı olacağı kolayca görülecektir.
- \(\pi\) ve \(\sqrt 2\) gibi \(e\) sayısı da irrasyonel sayılardır ve hesaplama yolu ile haneleri tüketilemez. \(e\) sayısı için yaklaşık bir değer elde etmek için \(e^z\) işlevinin, $${e^z} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{z^n}}}{{n!}}} ……………………………………………….(4)$$ biçimindeki Maclaurin serisine açılımından yararlanabiliriz. Örneğin (4) deki sonsuz serinin ilk 5 terimine göre \(e\)’nin yaklaşık değeri, $$e = {e^1} \approx \frac{{{1^0}}}{{0!}} + \frac{{{1^1}}}{{1!}} + \frac{{{1^2}}}{{2!}} + \frac{{{1^3}}}{{3!}} + \frac{{{1^4}}}{{4!}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{24}} = {\rm{2}}{\rm{,708\bar 3}}$$olarak elde edilir.
- Euler özdeşliğindeki \({\rm{sin}}(z)\) ve \({\rm{cos}}(z)\) işlevlerinin, sırasıyla$${\rm{sin}}(z) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{{( – 1)}^{n – 1}}}}{{(2n – 1)!}}{z^{2n – 1}}} ……………………………………(5)$$ve$${\rm{cos}}(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{( – 1)}^n}}}{{(2n)!}}{z^{2n}}} ………………………………………(6) $$biçiminde tanımlanan sonsuz seri açılımlarının, $${\rm{sin}}(z) = \frac{{{z}}}{{1!}} – \frac{{{z^3}}}{{3!}} + \frac{{{z^5}}}{{5!}} – \frac{{{z^7}}}{{7!}} + \cdots …………………………….(7)$$ve $${\rm{cos}}(z) = \frac{{{1}}}{{0!}} – \frac{{{z^2}}}{{2!}} + \frac{{{z^4}}}{{4!}} – \frac{{{z^6}}}{{6!}} + \cdots…………………………….(8)$$biçimindeki ilk 4 terimini toplarsak,$${\rm{sin}}(z) + {\rm{cos}}(z) = 1 + z -\frac{{{z^2}}}{{2!}}- \frac{{{z^3}}}{{3!}} + \frac{{{z^4}}}{{4!}} + \frac{{{z^5}}}{{5!}} – \frac{{{z^6}}}{{6!}} – \frac{{{z^7}}}{{7!}} +\cdots……(9)$$elde edilir.
- Üstel işlevin (4) deki sonsuz seriye açılımındaki ilk 8 terimi içeren$${e^z} = 1 + \frac{z}{1!} + \frac{{{z^2}}}{{2!}} + \frac{{{z^3}}}{{3!}} + \frac{{{z^4}}}{{4!}} + \frac{{{z^5}}}{{5!}} + \frac{{{z^6}}}{{6!}} + \frac{{{z^7}}}{{7!}} + \cdots …………..(10)$$ile sinüs ve cosinüs işlevlerinin yine 8 terimli (9) daki toplamı arasında terimlerin aynı olmasına dayalı bir benzerlik hemen göze çarpıyor.
- (9) ve (10) arasındaki bu benzerliği bir denkliğe dönüştürmek (10)’daki kimi terimlerin işaretini (9)’daki karşılıklarınınki ile örtüşecek biçimde eksilere dönüştürecek matematiğin sihirli değneklerinden birini kullanmamız gerekecek. Bu sihirli değnek, karesi -1 olan ve $$i=\sqrt {-1}$$biçiminde tanımlanan sanal sayı.
- Şimdi bu sihirli değneği, (10)’a değdirerek önce tüm \(z\)’leri $$e^{ix} = 1 + \frac{{{ix}}}{{1!}} + \frac{{{(ix)^2}}}{{2!}} + \frac{{{(ix)^3}}}{{3!}} + \frac{{{(ix)^4}}}{{4!}} + \frac{{{(ix)^5}}}{{5!}} + \frac{{{(ix)^6}}}{{6!}} + \frac{{{(ix)^7}}}{{7!}} + \cdots(11)$$biçiminde \(ix\)’lere dönüştürelim ve sonra da \(i\)’ye göre, $$e^{ix} = 1 + \frac{{{ix}}}{{1!}} – \frac{{{x^2}}}{{2!}} – \frac{{{ix^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} + \frac{{{ix^5}}}{{5!}} – \frac{{{x^6}}}{{6!}} – \frac{{{ix^7}}}{{7!}} + \cdots……………….(12)$$ biçiminde sadeleştirelim.
- Eğer (12)’deki sanal sayı içeren terimler \(i\) ortak çarpanı ile,$$e^{ix} = 1 – \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} – \frac{{{x^6}}}{{6!}} + \cdots + i\left( {\frac{{{x}}}{{1!}} – \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} – \frac{{{x^7}}}{{7!}} + \cdots}\right)…………(13)$$biçiminde bir araya getirilirse, (7) ve (8)’den, $$e^{ix} = {\rm{cos}}(x) + i{\rm{sin}}(x)………………………………………….(14)$$biçimindeki Euler denklemi elde edilir ve (1)’deki Euler özdeşliğinin \(x=\pi\) için (14)’ün özel bir durumu olduğu kolayca görülür.
