Manhattan Projesi ve Monte Carlo

Kumarhaneleri ile ünlü Monoca Prensliği’nin bir kenti olan “Monte Carlo”, ilk kez 1940’larda A.B.D.’nin  Los Alamos Laboratuarı’nda atom bombası çalışmalarının yapıldığı  Manhattan Projesi’nde bir araya gelen John von Neumann(1903-1957), Stanislav Ulam(1909-1986) ve Nicholas Constantine Metropolis(1915-1999) gibi bilimciler tarafından, bir grup matematiksel yöntemleri nitelendirmek için kullanıldı. Bu yöntemleri aynı amaca yönelik diğer sayısal yöntemlerden ayıran temel özellikleri, söz konusu problemi sanal bir rulet tekerleği ile oynanan bir tür  şans oyununa dönüştürerek, problemin yaklaşık çözümlerini üretmeleridir. Bu yaklaşık çözüme,  sanal rulet tekerleğinin ürettiği rassal sayılardan problemin çok büyük sayılarda özel çözümleri elde edilerek, istatistik biliminin temel yasası olan Büyük Sayılar Yasası(BSY)’sının mantığı ile ulaşılır.

Sanal bir gerçeğin doğrudan fiziksel bir gerçeğe dönüştürülmesi atom bombası örneğinde olduğu gibi öngörülemeyen son derece sakıncalı sonuçlar doğurabilir. Bir zamanlar yer yüzünde atom bombası diye bir şey yoktu. Ancak, geçen yüzyılın ilk çeyreğinde, çekirdek tepkimesiyle sürekli enerji elde edilebileceği gerçek deneylerle kanıtlanmıştı. Bu sürekli enerji yerine anlık bir enerji düşünmek hiç de zor değildir. On milyonluk bir büyükşehirin enerji gereksinimini yıllarca sağlayabilecek bir nükleer santral yerine, nükleer santralın yakıtı olan 1300gr kadar zenginleştirilmiş uranyumdaki enerjiyi bir anda ortaya çıkararak on milyonluk bir büyükşehiri yeryüzünden silecek bir bomba yapmak daha kolaydır.

II. Dünya Savaşı sırasında dünyayı yeniden paylaşmaya soyunan devletler arasındaki atom bombası yarışını, rakiplerine göre daha çok maddi ve insan kaynağı ayırabilen A.B.D. kazandı. Einstein’ın 2 Ağustos 1939’da Başkan Roosevelt’e gönderdiği bir mektuptan sonra, 1939’dan 1945’e kadar 2 milyar ABD doları harcanan Manhattan Projesi kapsamında yürütülen çalışmaların Nisan 1943 ile 1944 yazı ortalarına kadar süren son aşaması, kuramsal bilgideki boşlukların doldurularak bir atom bombasının tasarımı ve gerçekleştirilmesine odaklandı. 6 Ağustos 1945’te Hiroshima’ya Küçük Oğlan ve üç gün sonra da Nagasaki’ye Şişman Adam atıldı. Hiroşima’da 66 bin; Nagasaki’de ise 39 bin insan bir saniye içinde küle döndü ve bir o kadarı da ağır yaralandı. Bombaların düştüğü noktanın çevresindeki yarım mil çaplı çember içindeki her şey buharlaştı; bir mil çaplı çember içinde taş taş üstünde kalmadı; iki mil çaplı çember içindeki yapıların tamamı yıkıldı; iki buçuk mil çaplı çember içinde her şey yandı; ve yıkıntı parçaları üç milden daha büyük çaplı bir çember içine saçıldı. 10 Ağustos 1945’te Japonlar teslim oldu.

Hiroşima ve Nagasaki’de gerçek deneyden hemen sonra gözlenen atom bombasının yıkıcı ve yakıcı etkisi dışında çekirdek ışınımının, başta insanlarda kan kanseri ve bitkilerde genetik değişme olmak üzere yol açtığı çok daha zararlı ve uzun süreli sonuçlar daha sonra gözlemlenebildi.

Sanal bir gerçeğin aynı koşullar altında bir çok kere canlandırılabileceğini, farklı koşullarda bu canlandırmanın yinelenebileceğini, ve böylece sanal gerçek fiziksel bir gerçeğe dönüşmeden önce matematiksel denklem aşamasındayken  tasarlanan bir dizgenin olası tüm sonuçlarının önceden görülebileceğini, Manhattan Projesi’ndeki bilimcilerden bir olan Stanislaw Ulam fark etti:

«… [Monte Carlo Yöntemler]e ilişkin ilk düşüncelerim ve girişimlerim, 1946’da bir hastalıktan sonra iyileşme dönemimde yalnız oyunu oynarken aklıma gelen bir sorudan çıktı: 52 kartın dağıtıldığı bir yalnız oyununun başarıyla sonuçlanma şansları nedir? Salt bileşim hesaplamalarıyla tahmin etmek için bir sürü zaman harcadıktan sonra, “soyut düşünceden”, diyelim ki yüz kere kartları dağıtıp başarılı olanları gözlemek ve saymanın daha kolay bir yöntem olup olmayacağını merak ettim. Yeni hızlı bilgisayar döneminin başlamasıyla bunun artık yapılabilir olduğunu gördüm ve hemen çekirdek yayınımı ve matematiksel fiziğin diğer sorunları, ve daha genel olarak belli türevsel denklemlerle betimlenen süreçlerin, rassal işlemlerin ardıllığı olarak yorumlanabilir denk süreçlere nasıl dönüştürülebileceği üzerine düşünmeye başladım. Daha sonra…. [1946’da] düşüncemi John von Neumann’a açtım ve gerçek hesaplamaları planlamaya başladık.»

Bu düşünce Von Neumann’ın ilgisini çekti.  Yaklaşım, özellikle nötron zincirleme tepkimesinin çekirdek parçalama aygıtlarındaki davranışını keşfetmek için uygun görünüyordu.  Özel olarak, nötron parçalanma hızları tahmin edilebilir ve tasarlanmakta olan çeşitli parçalanım silahlarının davranışını keşfetmede kullanılabilirdi.  Mart 1947’de, Los Alamos’taki Teorik Bölüm’ün önderi olan Robert Richtmyer’a, “istatistiksel yaklaşımın sayısal bir işlem için çok uygun olduğunu” ve kaynaşım aygıtlarındaki nötron yayınım ve artım sorunlarının çözülmesinde nasıl kullanılabileceğinin ana hatlarını yazdı.

von Neumann,  nötron yayınımını modellemede yalnızca yarıçapı değişen çeşitli nesenelerin bulunduğu küresel benzeşik bir geometri kullandı. Nötronların izotropik olarak üretildiğini, bilinen bir hız  izgesi olduğunu, ve emilim, saçılım, ve parçalanımlanır madde ve çevresindeki maddelerin parçalanım arakesitlerinin nötron hızının bir işlevi ile betimlenebileceğini varsaydı. Son olarak da, her parçalanım sürecindeki 2, 3, ya da 4 nötron üretimi için belli olasılıklarla parçalanım nötronları sayısının istatistiksel özelliğine ilişkin uygun bir varsayımda bulundu. Buna göre yapılacak iş, yol boyunca çeşitli etkileşimlerin sonuçlarını seçmek için rasgele haneleri kullanarak belli bir nötronun geçmişini izlemekti. Bunun için von Neumann, hesaplamalarda her nötronun  maddenin neresinde olduğu, ışınım konumu, içeri mi dışarı mı hareket ettiği, hızı, ve zamanı gibi özelliklerinin işlendiği 80-girdilik delikli bir bilgisayar kartı ile gösterilebileceğini düşündü. Kartlarda, iz uzunluğu ve yönü, çarpışma biçimi, saçılım sonrası hız gibi geçmişteki bir sonraki adımı belirlemede kullanılan “gerekli rassal değerler” de vardı.   İzlenen nötron saçıldığında ya da bir başka kavkıya geçtiğinde yeni bir kartla yeni bir nötron başlatılıyor; nötron bir parçalanımı tetiklediyse, çeşitli nötronlar için kartlar başlatılıyordu.  İlgilenilen ana niceliklerden biri, başlatılan her 100 nötronun her biri için, örneğin \( {10^{ – 8}} \) saniye sonra kaç tane nötron bulunduğunu gösteren nötron artım hızıydı.

İstatistiksel benzetimin şans oyunları benzetimine benzemesi ve Monte Carlo’nun bir kumar ve şans oyunları merkezi olması nedeniyle Ulam’dan esinlenerek bu yönteme “Monte Carlo”  sıfatını  Metropolis  yakıştırdı.

Monte Carlo Yöntemin Özü

Monte Carlo yöntemin özü, gerçek nötron yayılımını yaklaşıklayan örnekleri hesaplamak için her dağılımın bir süreçler ardışımındaki çeşitli maddelerin içinde nötronların yayılımı gibi belli bir süreci yansıttığı çeşitli rasgele sayıların dağılımlarını kullanmaya dayanır. Olasılık dağılımlarından rasgele örnekleme daha önceleri de biliniyordu. Ancak bu hesaplamaları mekanik hesaplayıcılarla yapmak öyle yorucuydu ki,  zorunluluk olmadığı sürece yönteme çok seyrek başvuruluyordu. Bilgisayar bu yaklaşımı bir çok fizik problemin çözümünde son derece yararlı bir konuma getirdi.  Monte Carlo yöntemin etkinliğini arttıran Metropolis’in önem-örneklemesi algoritması  gibi yeni teknikler nicel sonuç elde etmeye yönelik her türlü problemin çözümünde yöntemi daha da çekici bir duruma getirdi.

Bu savaş zamanı döneminde, Pennsylvania Üniversitesi’ndeki önderliğini fizikçi John Mauchly ve mühendis Presper Eckert’in yaptığı bilimci, mühendis, ve teknisyenlerden oluşan  bir takım ilk elektronik bilgisayar ENIAC üzerinde çalışıyordu. Mauchly, fizik  laboratuvarlarındaki  Geiger sayaçlarında olduğu gibi elektronik devrelerle sayma işlemi yapabiliyorsa aritmetik işlemlerin de yapılabileceğini ve diğer bir çok işlem arasında fark denklemlerinin de inanılmaz bir hızda çözülebileceğini fark etti.   Aberdeen’deki Balistik Araştırma Laboratuarı’nda yüzlerce kollu hesap makinesi ile yapılan hesaplamaların çıkardığı uğultuyu ve zahmeti görünce bu hesaplamaların son derece hızlı ve gürültüsüzce üstesinden gelecek bir bilgisayar yapımını yetkililere önerdi. İleri Araştırma Enstitüsü’nde Matematik Profesörü olan John von Neumann, Aberdeen ve Los Alamos’ta da danışmandı.  Los Alamos’tayken Macar bilimci Edward Teller ve arkadaşlarının ortaya attığı termonükleer problemle ciddi biçimde ilgilenmişti. Monte Carlo yöntemleri ve bu yöntemlerin uygulanabilirliğini sağlayacak bilgisayarları tasarlayacak beyinler böylece bir araya geldi.

Metropolis(1987), Monte Carlo yöntemin en iyi açıklamasının von Neumann’ın Richtmyer’a yazdığı mektupta tartışılan örnekle yapılabileceğini söylüyor:

«…Sıkmaç bir madde kabuğu içinde parçalanabilen küresel bir çekirdek düşünün. Nötronların uzayda ve hızda bir başlangıç dağılımı olsun, ancak ışınım ve akış devinimi göz ardı edilsin.  Şimdi amaç, saçılım, emilim, parçalanım, ve sızmanın bir sonucu büyük bir sayıda bireysel nötron zincirlerinin gelişimini izlemektir.  Her aşamada fiziksel ve geometrik etkenlere uygun istatistiksel olasılıklara dayalı bir dizi karar verilmek zorundadır.  İlk iki karar belli bir hız ve mekansal konuma sahip bir nötronun seçildiği \(t = 0\) anında verilir.  Sonraki kararlar ilk çarpışmanın konumu ve o çarpışmanın doğasıdır.  Eğer bir parçalanma belirlenmişse, açığa çıkan nötronların sayısına karar verilmeli, ve bu nötronların her biri sonunda ilkinde olduğu gibi izlenmelidir. Çarpışmanın bir saçılım olduğuna karar verilirse, nötronun yeni devinirliğini belirlemek için uygun istatistikler devreye sokulur. Nötron maddesel bir sınırı aşarsa, yeni ortamın ölçümöteleri ve özellikleri göz önüne alınır. Böylece, bir nötronun kalıtımsal geçmişi elde edilir. Süreç istatistiksel açıdan geçerli bir resim elde edilinceye kadar diğer nötronlar için de yinelenir.

Tek düze dağılımlı bir sözde-rassal sayılar üreteci süreci çalıştırmak için gerekli temel girdiyi sağlar. Böyle sayılar üretmek için çokça kullanılan algoritma von Neumann’ın “orta-kare haneler” idir. Burada, n-haneli bir tam sayının karesi alınarak 2n-haneli bir çarpım sonucu bulunur. Yeni bir tam sayı, çarpım sonucunun ortasındaki n-hane alınarak oluşturulur. Bu sürecin üst üste yinelenmesi özellikleri iyi bilinen bir tam sayılar zinciri oluşturur. Açıktır ki, sayıların bu zinciri bir H noktasından sonra kendisini yineler. H.Lehmer tarafından önerilen böyle bir zincirin kendisini yinelemeden önce olası n-haneli tüm sayıları üreten Kronecker-Weyl teoremine dayalı bir algoritma da vardır. Rassal sayıların tek düze dağılımlı bir kümesi elde edilmişse, geriye bu sayıların istenen özellikte tek düze olmayan bir \(g \) dağılımlı kümeye dönüştürülmesi kalır. Bu dönüşümü başarmak için gerekli \(f \) işlevinin tek düze olmayan \(g \) dağılımının yalnızca \( f=g^{-1} \) biçimindeki ters işlevi olduğu gösterilebilir. Örneğin nötron fiziği özgür izlerin dağılımının-yani, belli bir madde içinde belli bir enerjiye sahip nötronların bir çekirdekle çarpışmadan önce ne kadar yol alacağı- \( (0, \infty ) \) aralığında üstel olarak azaldığını gösterir. Eğer \(x\), \( (0, 1)\) açık aralığında tek düze dağılımlı ise, o zaman \(f = – lnx\), tam bu özelliklerde tek düze olmayan bir \(g\) dağılımı verir.

          Manhattan Projesi kapsamında kullanılmaya başlayan Monte Carlo yöntemin uygulama alanı giderek genişledi ve uygulamadaki sorunlar yöntemin kuramsal açıdan da zenginleşmesine yol açtı. Karmaşık ve çok-boyutlu tümlevlerin hesaplanmasında, sayısal yöntemlere göre genellikle daha etkin bir yol olan Monte Carlo yöntem ya da yöntemi önerenlerin tanımladıkları biçimde “olasılık dağılımlarından rasgele örnekleme”, istatistikçiler için doğal olarak çekici özelliği olan bir yöntemdi. İstatistik dilinde “rasgele örnekleme”, gerçek gözlem birimlerinden oluşan bir yığından yığını temsil edecek bir gözlem kümesi oluşturma amacı ile rasgele gözlem birimi seçme anlamında kullanılır. Temel amaç, gözlem birimlerinin ölçülebilir özellikleri olan rassal değişgenlerin beklenen değerlerini tahmin etmek ya da olasılık dağılımlarını keşfetmektir. Büyük Sayılar Yasası’na göre, örnek çapı büyüdükçe örnekteki gözlem birimlerinden hesaplanan bir rassal değişgene ilişkin örnek istatistiğinin giderek söz konusu rassal değişgenin beklenen değeri ya da yığın ölçümötesini belli bir hata payı ile yakınsar.

Gerçek ya da sanal gerçek olsun, bir dizgenin modeli kurulabiliyorsa, belirlenen konumlarda dizge sayısal olarak canlandırılabilir ve çıktısı çözümlenebilir. Bir dizgenin sayısal olarak canlandırılması ya da benzetimi, dizgenin gözlenmesine göre her açıdan çok daha az maliyetli ve çok daha az zaman alıcıdır. Tasarlanan sanal gerçeklerin olası durumları ve sonuçları Monte Carlo yöntemlerle değerlendirilmeden gerçek dünyada uygulamaya konulamayacağı konusunda, atom bombası deneyimi, bilim ve teknik alanlarda çalışan her kes kadar son karar vericileri de uyaran çarpıcı bir örnektir. MC yöntemlerin kaynağı olarak bilinen Manhattan Projesi kapsamında geliştirilen ilk sanal atom bombası, MC sınamalardan geçirilmeden, küçük bir gerçeği 1944’te Los Alamos çöllerinde ve asılları da 1945’te Hiroşima ve Nagazaki üzerinde denendi. Manhattan Projesi’nin MC yöntemlere katkısı, atom bombasının savaşı sonlandırma dışında öngörülemeyen sonuçları gözlendikten sonra olmuştur. Savaş sonrasında ise, tüm sanal nükleer savaş benzetimleri böyle bir savaşın galibi olamayacağını gösterdiği için, soğuk savaş döneminde nükleer silahlar, bu teknolojiye sahip olmayanlara “aba altından gösterilen” kağıttan sopalara dönüştü.  Silahlanma yarışının hiç kesilmediği, hatta tekelleştiği günümüzde, atom bombasından çok daha güçlü olduğu bilinen silahların bu güne kadar canlılar üzerinde denenmemiş olması, bilimcilerin ve karar vericilerin bu konuda belli bir bilinç düzeyine geldiğini gösteriyor.

Günümüzde tasarlanan bir dizgenin sanal ortamdan gerçek ortama aktarılması, MC sanal deney aşamasından başarı ile geçebilmesine bağlıdır. Sanal bir deneyle, tasarım aşamasındaki bir dizge canlandırılarak, istenen her koşulda dizgenin işleyişi incelenebilir. MC benzetim sınamalarından başarı ile geçtikten sonra, bir dizgenin gerçek ortamda gözlenecek davranışı ile sanal deney aşamasındaki davranışı arasındaki fark, dizgenin modeli ile dizgenin kendisi arasındaki fark kadardır. Başka bir deyişle, sanal deneyin temelini oluşturan bir dizgeye ilişkin modelin hatası ne kadar az ise, söz konusu dizgeye ilişkin sanal deneyle elde edilen bilgi ile o dizgeye ilişkin olarak gerçekleştirilecek bir deneyden elde edilecek bilgi ile o kadar çok örtüşecektir. Bu açıklamaların ışığında, MC yöntemlerin, nicel temeli olan her türlü kuramsal bilginin sanal verilerle sınanmasında güvenle kullanılabileceği açıktır.