Şekil 1.’de gösterildiği gibi yatay bir düzlem üzerinde dikdörtgensel bir koordinat dizgesinin başlangıç noktasına nişan alınarak yapılan çok sayıdaki atıştan bir tanesinin x ekseniyle bir \(\theta\) açısı doğrultusunda ve başlangıç noktasından r birim uzaklıktaki bir noktaya isabet ettiğini düşünelim. Ayrıca, hedeften büyük sapmaların küçük sapmalara göre daha az olası olduğunu ve dik yönlerdeki sapmaların bir birinden bağımsız olduğunu varsayalım.
Hedef tahtasına isabet eden noktanın \(x\)’ten \(x +\Delta x \)’e kadar olan dilim içinde olma olasılığı \( o(x) \Delta x \) ve \(y\)’den \(y +\Delta y \)’e kadar olan dilim içinde olma olasılığı \( o(y) \Delta y\) olsun. Hedefin merkezinden \(r \) kadar sapan isabet noktaları koordinatlardan bağımsız olduğundan, isabet noktasının \(\Delta x \) ve \( \Delta y \) genişlikli dilimlerin kesişimi olan dikdörtgen alana düşme olasılığı
$$ o(x)o(y) \Delta x \Delta y=g(r)\Delta x \Delta y $$
olur. Buradan
$$ g(r)=o(x)o(y) $$
olduğu çıkar.
\( g(r) \) kutupsal koordinatlarda \(\theta \) açısına bağlı olmadığından kısmi türevler kullanılarak
$$ \frac{\partial g(r)}{\partial \theta}=0=o(x) \frac{\partial o(y)}{\partial \theta}+ o(y)\frac{\partial o(x)}{\partial \theta}$$
yazılabilir. Kutupsal
$$x=r \cos \theta$$
$$y=r \sin \theta$$
ilişkilerine göre,
$$\frac {\partial o(x)}{\partial \theta}=\frac {\partial o(x)}{\partial x}\frac {\partial x}{\partial \theta}=o{}'(x)(-y)$$
$$\frac {\partial o(y)}{\partial \theta}=\frac {\partial o(y)}{\partial y}\frac {\partial y}{\partial \theta}=o{}'(y)(x)$$
ve buradan da,
$$o(x){o}'(y)(x)-o(y){o}'(x)(y)=0$$
olur. Değişgenler ayrılarak, \(x\) ve \(y\) değişgenleri bağımsız olduğundan her iki yanı \(K\) gibi bir sabite eşit olmak zorunda olan,
$$\frac{{o}'(x)}{xo(x)}=\frac{{o}'(y)}{yo(y)}=K$$
türevsel denklemleri elde edilir. Dolayısı ie, \(x\) değişgeni için,
$$\frac{{o}'(x)}{o(x)}=Kx$$
$$\ln o(x)=K x^2/2 + C$$
$$o(x)=Ae^{K x^2/2}$$
olur. Ancak küçük sapmaların büyük olanlardan daha az olası olduğu varsayıldığından \(K<0\) olur ve \(K=-1\) olarak alınırsa,
$$o(x)=Ae^{-x^2 / 2 }…………………………………………(1)$$
olur. Olasılık işlevi tanımına göre,
$$ \int_{-\infty }^{\infty }Ae^{-x^2 / 2 }dx=1$$
ya da,
$$ A=\frac {1}{\int_{-\infty }^{\infty }e^{-x^2 / 2 }}dx $$
olmalıdır. \(A\)’nın tanımındaki tümlev, tümlevin karesi alınarak elde edilen,
$$T^2= \int_{-\infty }^{\infty }e^{-x^2 / 2 }dx \int_{-\infty }^{\infty }e^{-y^2 / 2 }dy=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty }e^{-(x^2+y^2) / 2 }dxdy$$
biçimindeki çift tümlev değeri hesaplanabilir. Kutupsal koordinat sistemine geçilerek hesaplanan,
$$T^2=\int_{0}^{2\pi}\int_{0 }^{\infty }e^{-r^2 / 2 }rdrd \theta=2 \pi \int_{0 }^{\infty }e^{-r^2 / 2 }rdr=2 \pi (-e^{-r^2 / 2 }) |_{0}^{\infty}=2\pi$$
değerinden,
$$A=1/\sqrt {2 \pi}$$
olarak bulunur. Denklem (1)’de \(A\)’nın değeri yerine konursa, birim normal dağılım olasılık yoğunluk işlevi
$$o(x)=\frac {1}{\sqrt {2 \pi}}e^{-x^2 / 2 }………………………………….(2)$$
biçiminde elde edilmiş olur.
John F. W. Herschel (1792-1871)
Kaynaklar
Pearson, Karl (1924) Note on the Origin of the Normal Curve of Errors, Biometrika, 16(3/4):402-404.
Grossman, Stanley I. (1986) Multivariable calculus, linear algebra, and differential equations, Academic Press, Elsevier Inc. : 297-298.
Hamming, Richard W. (1991) The Art of Probability_ For Scientists and Engineers , Addison-Wesley.:208-211.
Normal distribution’s probability density function derived in 5 minutes
Derivation of the Normal (Gaussian) Distribution
