Fisher, Newman ve Pearson’nun kuramı iki açıdan kısıtlıdır. Birincisi, yalnızca sav sınama ve nokta ya da aralık tahmini sorunuyla ilgilenmesidir. İkinci kısıtı ise, yalnızca \(\Omega\)’nın dağılım işlevlerinin k-ölçümöteli bir aile olduğu durumu incelemesidir. Uygulama açısından her ikisi de ağır kısıtlardır.
Sav sınama ya da tahmin sorunu olmayan bir çok önemli istatistiksel sorun bulunur. Bölüm 1’de böyle bir örnek vermiş bulunuyoruz. Bir başka örnek olarak, aşağıdaki durumu dikkate alalım: \({{X}_{1}},…,{{X}_{p}}\), \(p\) tane bağımsız, birim değişkeli ve bilinmeyen \({{\theta }_{1}},…,{{\theta }_{p}}\) ortalamalı normal rassal değişgen olsun. Ayrıca, \({{x}_{i1}},…,{{x}_{in}}\), \({{x}_{i=1(1)p}}\) üzerine \(n\) tane bağımsız gözlem olsun. \({{\theta }_{1}}=…..={{\theta }_{p}}\) savını sınadığımızı, \(pn\) tane \({{x}_{i=1(1)p,\alpha =1(1)n}}\) gözlemlerine dayalı olarak bu savı red etmeye karar verdiğimiz varsayılsın. Böyle durumlarda genellikle hangi ortalamaların sıfır olmadığı ile ilgilenir, bir başka deyişle \(p\) tane ortalama değer kümesi \({{\theta }_{1}},…,{{\theta }_{p}}\)’yi, birisi sıfır olan ortalama değerlerden, diğeri de sıfır olmayan ortalama değerlerden oluşacak biçimde, iki alt kümeye ayırmayı isteriz. Bu ayrıştırma, elbette, \(pn\) tane \({{x}_{i=1(1)p,\alpha =1(1)n}}\) gözlemlerine dayalı yapılmalıdır. Daha açıkçası, aşağıdaki istatistiksel sorunlarla uğraşmalıyız: \(\left( {{\theta }_{1}},…,{{\theta }_{p}} \right)\) kümesinin \({{2}^{p}}\) tane farklı alt kümesi vardır. \({{\omega }_{1}},…,{{\omega }_{{{2}^{p}}}}\) sırasıyla bu alt kümeleri göstersin. \({{S}_{k=1(1){{2}^{p}}}}\), \({{\omega }_{k}}\) kümesindeki ortalama değerlerin sıfır ve diğer tüm ortalama değerlerin sıfır olmadığı savı olsun. \(pn\) tane gözleme dayalı olarak, olası \({{2}^{p}}\) tane sav kümesinden hangi \({{S}_{k=1(1){{2}^{p}}}}\) savını kabul edeceğimize karar vermeliyiz. Bu sorun, ne bir sav sınama ne de bir tahmin sorunu olarak ele alınamaz.
Benzer bir sorun, çekim katsayıları kümesini, sıfır olan ve sıfır olmayan çekim katsayıları sınıflarına ayırmak istediğimizde ortaya çıkar. Çekim sorununda, sık olarak, söz konusu çekimin çokterimli olduğundan yola çıkıp, gözlemlere dayalı olarak çokterimlinin derecesini belirlememiz gerekir. Demek ki, gözlemlere dayalı olarak \({{S}_{1}},{{S}_{2}},{{S}_{3}}…..,{{S}_{n}},…\) savlar dizisinden hangi savı kabul edeceğimize karar vermeliyiz. \({{S}_{n=1,2,…}}\) simgesi, çekimin \(n^{\text{inci}}\) dereceden bir çokterimli olduğu savını göstermektedir. Bu örnekler Bölüm 1’de olduğu gibi, istatistiksel çıkarım kuramının genel duruma genişletilmesi gereğini yeterince göstermektedir.
\(\Omega\)’nın \(k\)-ölçümöteli bir dağılım işlevleri ailesini simgeleyemediği durum oldukça önemlidir. Bir örnek olmak üzere, aşağıdaki sorunları göz önüne alalım. \(\left( X,Y \right) \) rassal değişgen ikilisi üzerine \(n\) tane bağımsız gözlem çiftleri, \(\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right),…,\left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)\) olsun. bakalım. Varsayalım ki, \(X\) ve \(Y\) bağımsız dağılımlı olsun ve \(X\) ile \(Y\)’nin ortak dağılımına ilişkin her hangi bir öncül bilgimiz bulunmasın. Bu durumda \(\Omega\), \(\phi \) her hangi bir işlev olmak üzere,
\[\Phi \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},…,{{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)=\phi \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)…\phi \left( {{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)\]
biçiminde yazılabilen tüm \(\Phi \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},…,{{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)\) dağılım işlevlerinden oluşur. alt sınıfı,
\[\Phi \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},…,{{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)=\varphi \left( {{x}_{1}} \right)\psi \left( {{y}_{1}} \right)\varphi \left( {{x}_{2}} \right)\psi \left( {{y}_{2}} \right)…\varphi \left( {{x}_{n}} \right)\psi \left( {{y}_{n}} \right)\]
biçiminde yazılabilen tüm \(\Phi \left( {{x}_{1}},{{y}_{1}},…,{{x}_{n}},{{y}_{n}} \right)\) dağılım işlevlerinden oluşur. Dolayısı ile \(\Omega\), \(k\)-ölçümöteli bir dağılım işlevleri ailesini gösteremez.
Bir örnek olarak verilen yukarıdaki sorun, H.Hotelling ve Margaret Pabst tarafından ele alınmıştır.[8] \(\Omega\)’nın tüm sürekli dağılımlar sınıfı olduğu bir başka sorun A. Wald ve J. Wolfowitz’in makalesinde dikkate alınmıştır.[21] Burada, aşağıdaki genel sorunla ilgili istatistiksel çıkarım kuramının bir taslağını vereceğiz.*
\({{X}_{1}},…,{{X}_{n}}\), \(n\) tane rassal değişgenin bir kümesi olsun. Bilinmektedir ki, \({{X}_{1}},…,{{X}_{n}}\)’nin ortak dağılım işlevi \(\Phi \left( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \right)\), dağılım işlevlerinin belli bir sınıfı \(\Omega\)’nın bir üyesidir. \(V\), \(\Omega\)’nın bir altsınıflar dizgesi olsun. \(V\)’nin her \(\omega \) bireyi için \({{S}_{\omega }}\), \({{X}_{1}},…,{{X}_{n}}\)’in gerçek dağılımı \(\Phi \left( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \right)\)’nın, \(\omega \)’nın bir bireyi olduğu savını göstersin. \({{S}_{V}}\) ile, \(V\)’nin tüm bireylerine ilişkin tüm savlar dizgesi gösterilsin. \({{X}_{i=1(1)n}}\)’lerin gözlenen değerleri \({{x}_{i=1(1)n}}\)’ler olsun. Gözlenen örnek noktası \({{E}_{n}}=\left( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \right)\) yardımıyla, \({{S}_{V}}\) dizgesinin hangi savını seçeceğimize karar vermek durumundayız. Bu, her \({{S}_{\omega }}\) savı için \(n\)-boyutlu örnek uzayında bir \({{M}_{\omega }}\) kabul bölgesi belirlemek zorundayız demektir. Ancak örnek noktası yalnızca \({{M}_{\omega }}\) bölgesine düştüğünde \({{S}_{\omega }}\) savı kabul edilecektir. \(\omega \ne {\omega }’\) için, tabi ki \({{M}_{\omega }}\) ve \({{M}_{{{\omega }’}}}\) bölgeleri ayrıktır. Dahası, \(\sum\limits_{\omega }{{{M}_{\omega }}}\), tüm örnek uzayına eşittir. İstatistiksel sorun, kabul bölgeleri dizgesi \({{M}_{V}}\)’nin uygun bir seçimidir.
Kabul bölgeleri dizgesi \({{M}_{V}}\)’nin seçimi, örnek uzayının tüm \({{E}_{n}}\) noktalarında tanımlı bir \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\)’nin seçimine denktir. \(V\)’nin bir bireyi olan \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) işlevinin değeri şöyle belirlenir: \({{M}_{V}}\)’nin bireyleri ayrık ve \(\sum\limits_{\omega }{{{M}_{\omega }}}\) tüm örnek uzayına eşit olduğundan, \({{E}_{n}}\in {{M}_{\omega }}\) olacak biçimde, her \({{E}_{n}}\) noktasına tam olarak \(S\)’nin bir bireyi karşılık gelir. \({{E}_{n}}\in {{M}_{\omega }}\) olan \(\omega \in V\) bireyi, \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) işlevinin değeridir. Bundan dolayı, \({{M}_{V}}\) yerine \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\)’i alabilir ve her örnek noktası \({{E}_{n}}\) için \({{S}_{\omega }}\left( {{E}_{n}} \right)\) savını kabul etmeye karar verebiliriz. \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\)’ye, istatistiksel karar işlevi diyeceğiz. Bu nedenle, istatistiksel sorun, istatistiksel karar işlevi \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\)’nin seçimine ilişkindir.
\(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\)’nın seçimi, işleyebileceğimiz olası farklı hataların görece önemine bağlı olarak etkilenecektir. Gerçek dağılım \(\omega \)’nın bir bireyi değilken \({{S}_{\omega }}\) savını kabul ettiğimizde bir hata işleriz. Olası hatalar için bir ağırlık işlevi getireceğiz. Ağırlık işlevi \(w\left[ \Phi ,\omega \right]\), \(\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\) gerçek dağılımken \({{S}_{\omega }}\)’nin kabul edilmesiyle işlenen hatanın görece önemini ifade eden, \(\Omega\)’nın tüm \(\Phi \) ve \(V\)’nin tüm \(\omega \) bireyleri için tanımlı negatif olmayan gerçek değerli bir işlevdir. Eğer \(\Phi \in \omega \) ise, \(w\left[ \Phi ,\omega \right]=0\); tersi durumda, \(w\left[ \Phi ,\omega \right]>0\) olur. Ağırlık işlevi \(w\left[ \Phi ,\omega \right]\)’nın biçiminin nasıl seçileceği sorusu, ne matematiksel ne de istatistiksel bir sorudur. Belli savları sınamak isteyen istatistikçi önce olası tüm hataların görece önemini belirlemelidir ve bu araştırmasının özel amacına dayanır. Bu yapılırsa, istatistiksel karar işlevinin nasıl seçileceği sorusuna genellikle daha yeterli bir yanıt verebiliriz. Bir çok durumda, özellikle sanayi üretimine ilişkin istatistiksel sorularda, bir hatanın önemini parasal olarak, yani söz konusu hatanın yol açtığı kaybı para cinsinden ifade edebiliriz. \(w\left[ \Phi ,\omega \right]\)’a, \(\Phi\) gerçek dağılımken \({{S}_{\omega }}\)’nin kabul edilmesinin neden olduğu kayıptır diyeceğiz.
Kararlarımızı \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) gibi bir istatistiksel karar işlevine göre aldığımızı ve gerçek dağılımın \(\Omega\)’nın bireyi \(\Phi \left( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \right)\) olduğunu varsayalım. O zaman kaybın beklenen değerinin, tümlevin tüm örnek uzayı \({{M}_{V}}\) üzerinden alındığı,
\[\int\limits_{{{M}_{V}}}{w\left[ \Phi ,\omega \left( {{E}_{n}} \right) \right]d\Phi \left( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \right)}=r\left[ \Phi \right] ………….(5)\]
Stieltjes tümlevi olacağı açıktır. (5)’deki ifadeye, \(\Phi\) gerçek dağılımken yanlış savı kabul etme riski diyeceğiz. Gerçek \(\Phi\) dağılımını bilmediğimizden, \(r\left[ \Phi \right]\) riskini \(\Phi\)’nin bir işlevi olarak ele almak zorundayız. Bu işleve risk işlevi diyeceğiz. Bundan dolayı, risk işlevi \(\Omega\)’nın tüm \(\Phi\) bireyleri üzerinden tanımlanır. Risk işlevinin biçimi, istatistiksel karar işlevi \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) ve ağırlık işlevi \(w\left[ \Phi ,\omega \right]\)’e bağlıdır. Bu gerçeği ifade etmek için, istatistiksel karar işlevi \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) ve ağırlık işlevi \(w\left[ \Phi ,\omega \right]\)’e ilişkin olan \(r\left[ \Phi \right]\) risk işlevini,
\[r\left\{ \Phi \left| \omega \left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \Phi ,\omega \right] \right\}\]
ile de göstereceğiz.
Aşağıdaki tanımları getirelim:
Tanım 1. Aynı \({{S}_{V}}\) savlar dizgesi için, \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) ve \({\omega }’\left( {{E}_{n}} \right)\) iki istatistiksel karar işlevini göstersin. Eğer, risk işlevi \(r\left\{ \Phi \left| \omega \left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \Phi ,\omega \right] \right\}\), \(r\left\{ \Phi \left| {\omega }’\left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \Phi ,\omega \right] \right\}\) risk işlevine eşitse, yani \(\Omega\)’nın her hangi bir \(\Phi\) bireyi için,
\[r\left\{ \Phi \left| \omega \left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \Phi ,\omega \right] \right\}=r\left\{ \Phi \left| {\omega }’\left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \Phi ,\omega \right] \right\}\]
ise, \(w\left[ \Phi ,\omega \right]\) ağırlığına göre \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) ve \({\omega }’\left( {{E}_{n}} \right)\) denktir diyeceğiz.
Tanım 2. Aynı \({{S}_{V}}\) savlar dizgesi için, \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) ve \({\omega }’\left( {{E}_{n}} \right)\) iki istatistiksel karar işlevini göstersin. Eğer, \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) ve \({\omega }’\left( {{E}_{n}} \right)\) denk değil ve \(\Omega\)’nın her hangi bir \(\Phi\) bireyi için,
\[r\left\{ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left| \omega \left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right] \right\}\le r\left\{ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left| {\omega }’\left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right] \right\}\]
ise, \(w\left[\Phi ,\omega \right]\) ağırlığına göre \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\), \({\omega }’\left( {{E}_{n}} \right)\)’dan tekdüze daha iyidir diyeceğiz.
Tanım 3. Söz konusu ağırlık işlevine göre başka tekdüze daha iyi bir karar işlevi yoksa, \(w\left[ \Phi ,\omega \right]\) ağırlık işlevine göre, \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) istatistiksel karar işlevinin kabul edilebilir olduğu söylenir.
İstatistiksel karar işlevinin seçimi için birinci ilke: Söz konusu ağırlık işlevine göre kabul edilebilir istatistiksel karar işlevi seçilir.
\(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\)’nin seçimi için yukarıdaki ilkenin kabul edilmesine karşı her hangi bir görüş zor öne sürülebilir. Ancak, bu ilke genelde tek bir çözüme götürmez. Genelde bir çok kabul edilebilir istatistiksel karar işlevi bulunur. Kabul edilebilir en iyi karar işlevinin seçimi için bir ikinci ilkeye gerek duyarız.
Kabul edilebilir iki istatistiksel karar işlevi \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) ve \({\omega }’\left( {{E}_{n}} \right)\) arasındaki seçim, \(\Omega\)’nın farklı bireylerinin gerçekliği üzerine olan öncül güvenimizin derecesiyle etkilenebilir. Örneğin \(\Omega\)’nın belli bir bireyi \(\Phi_1\) için,
\[r\left\{ {{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{1}}\left| \omega \left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right] \right\}>r\left\{ {{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{1}}\left| {\omega }’\left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \Phi ,\omega \right] \right\};\]
\(\Omega\)’nın bir başka bireyi \(\Phi_2\) için,
\[r\left\{ {{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{2}}\left| \omega \left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right] \right\}>r\left\{ {{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{2}}\left| {\omega }’\left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \Phi ,\omega \right] \right\};\]
ve \(\Omega\)’nın diğer her \(\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\ne {{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{1}},\ne {{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{2}}\) bireyi için,
\[r\left\{ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left| \omega \left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right] \right\}=r\left\{ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left| {\omega }’\left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right] \right\}\]
olduğunu varsayalım. Eğer \({{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{1}}\)’in gerçekliği üzerine, \({{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{2}}\)’ye olandan çok daha fazla bir öncül güvenimiz varsa, büyük olasılıkla \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\)’yı \({\omega }’\left( {{E}_{n}} \right)\)’a yeğleyeceğiz. Öte yandan, \({{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{2}}\)’nin doğru olmasının \({{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{1}}\)’inkinden daha olası olduğunu düşünürsek, \({\omega }’\left( {{E}_{n}} \right)\)’yı \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\)’a yeğleyebiliriz.
p>Öncül güven derecemizi, \(\rho \left( \Omega \right)=1\) olmak üzere, \(\Omega \)’nın belli bir \(\eta \) alt kümeler dizgesi üzerinde tanımlı negatif olmayan toplamlı bir küme işlevi \(\rho \left( \eta \right)\) ile ifade edebileceğimizi varsayalım. Bu, \(\rho \left( \eta \right)\) değeri, gerçek dağılımın \(\eta \) alt kümesinin bir bireyi olduğu üzerine öncül güvenimizin derecesini gösterir demektir.
Böyle bir durumda, \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)={{\omega }^{*}}\left( {{E}_{n}} \right)\) için,
\[\int\limits_{\Omega }{r\left\{ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left| \omega \left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right] \right\}d\rho }\]
tümlevinin en küçük olduğu \({{\omega }^{*}}\left( {{E}_{n}} \right)\) karar işlevinin “en iyi” olduğunu düşünmek akla çok yatkın gibidir. Yani, risk işlevinin belli bir ağırlıklı ortalamasını en küçük yapan bir karar işlevi \({{\omega }^{*}}\left( {{E}_{n}} \right)\)’i “en iyi” olarak benimseriz.
Ancak, öncül inanç derecemizi gösteren bir küme işlevinin anlamlı bir biçimde kurulabilmesi kuşkuludur. Bu nedenle, “en iyi” karar işlevi fikrini böyle etmenlerden bağımsız biçimlendirmeyi yeğleriz.
\(\Phi\), \(\Omega\)’nın her hangi bir bireyi olmak üzere, \(\Phi\)’ye göre \(r\left\{ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left| \omega \left( {{E}_{n}} \right) \right.,w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right] \right\}\)’nın en küçük üst sınırını, \(r\left\{ \omega \left( {{E}_{n}} \right),w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right] \right\}\) göstersin.
Tanım 4. \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)={{\omega }^{*}}\left( {{E}_{n}} \right)\) için \(r\left\{ \omega \left( {{E}_{n}} \right),w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right] \right\}\) en küçükse, \({{\omega }^{*}}\left( {{E}_{n}} \right)\) karar işlevi, “en iyi” karar işlevidir denir. (\(w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right]\) ağırlık işlevinin belirlenmiş olduğu düşünülerek.)
“En iyi” karar işlevinin bu tanımı, akla yatkın tek tanım olmasa da, oldukça uygun bir tanım gibi gözükmektedir. Risk işlevinin belli bir ağırlıklı ortalamasını en küçük yapan bir karar işlevi haklı olarak “en iyi” kabul edilebilir. Ancak, Tanım 4’e göre “en iyi” karar işlevinin, bu tanımın kullanılmasını haklı gösteren, belli özellikleri vardır. Tanım 4’teki anlamda “en iyi” karar işlevinin en önemli özelliklerinden biri değişmez olması, yani \(\Omega\)’nın her \(\Phi\) bireyi için aynı değerli olmasıdır. \(\Omega\)’nın, \(k\)-ölçümöteli bir dağılım ailesi olduğu ve \(w\left[ \text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ },\omega \right]\) ağırlık işlevi ile \(\Phi\) dağılımlarının belli kısıtlayıcı koşulları sağladığı durumda bu gösterilmiştir. Bu özellik istatistiksel karara ilişkin riskin tam değerini hesaplamaya olanak verdiğinden, risk işlevinin değişmezliği uygulama açısından çok istenilir. Güven aralığı kuramında güven katsayısı \(\alpha\), yani güven aralığının bilinmeyen ölçümöteyi içerme olasılığı, bilinmeyen ölçümöte değerinden bağımsızdır. \(1-\alpha\), belli bir anlamda aralık tahminine ilişkin risk olarak görülebileceğinden, aralık tahmin kuramında temel önemi olan bu gerçek, genel kuramımızdaki risk işlevinin değişmezliğine benzer. (Eğer ağırlık işlevi yalnızca 1 ve 0 değerlerini alıyorsa, \(1-\alpha\), tam olarak tanımladığımız anlamdaki risk işlevine eşittir.)
Son olarak, burada özetlendiği biçimde genel kuramın, daha önce açıklanan tekdüze en güçlü ve asimptotik en güçlü sınamalarla olan ilişkisi üzerine birkaç söz söylemeliyim. Bilinmeyen \(\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }\left( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \right)\) dağılımının belli bir \({{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{0}}\left( {{x}_{1}},…,{{x}_{n}} \right)\) dağılımına eşit olduğu yalın sav sınaması durumunda, \(\Omega\)’nın alt kümelerinin \(V\) dizgesi, tek bireyi \({{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{0}}\) olan \({{\omega }_{1}}\) ve \(\Omega\)’da \({{\omega }_{1}}\)’in tümleyeni \({{\omega }_{2}}\) olmak üzere, yalnızca \({{\omega }_{1}}\) ve \({{\omega }_{2}}\) gibi iki bireyden oluşur. Bundan dolayı, karar işlevi \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) yalnızca \({{\omega }_{1}}\) ve \({{\omega }_{2}}\) değerlerini alabilir. \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)={{\omega }_{1}}\) olan \({{E}_{n}}\) noktaları örnek uzayının alt kümesi \({{M}_{{{\omega }_{1}}}}\) ve \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)={{\omega }_{2}}\) olan \({{E}_{n}}\) noktaları kümesi \({{M}_{{{\omega }_{2}}}}\) olsun. \({{M}_{{{\omega }_{2}}}}\) kümesi örnek uzayında \({{M}_{{{\omega }_{1}}}}\)’in tümleyenidir. Neyman-Pearson kuramı anlamında, \({{M}_{{{\omega }_{2}}}}\) kümesinin kritik bölge olduğu açıktır. Her hangi bir \(\alpha \left( 0<\alpha <1 \right)\) düzeyinde \(\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }={{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{0}}\) sınaması için, \(\alpha\) büyüklüğünde tekdüze en iyi kritik bir bölge varsa, o zaman her hangi bir ağırlık işlevi ve her hangi bir kabul edilebilir(Tanım 3’e bakınız) karar işlevi \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\) için, \({{M}_{{{\omega }_{2}}}}\) kümesinin tekdüze en iyi kritik bölge olacağını görmek kolaydır. Özel olarak, “en iyi” karar işlevine (Tanım 4’e bakınız) ilişkin \({{M}_{{{\omega }_{2}}}}\) tekdüze en iyi kritik bölge olacaktır. Bu nedenle, ağırlık işlevinin biçimi yalnızca “en iyi” karar işlevi \(\omega \left( {{E}_{n}} \right)\)’ya ilişkin \({{M}_{{{\omega }_{2}}}}\)’nin büyüklüğünü etkileyecek, ancak Neyman-Pearson kuramı anlamında her zaman tekdüze en iyi kritik bir bölge olacaktır. Benzer görüşler, asimptotik en güçlü sınamalar için de geçerlidir.
\(\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }={{\text{ }\!\!\Phi\!\!\text{ }}_{0}}\) yalın sınaması için, kritik bölgelerin \(\left\{ {{W}_{n=1,2,…,\infty .}} \right\}\) dizisi, asimptotik en güçlü sınama olsun. O zaman \({{W}_{n}}\), yeterince büyük \(n\) için, tek düze en iyi kritik bir bölgedir ve bundan ötürü, hataların ağırlık işlevi biçimine bakılmaksızın, Tanım 4’teki anlamda “en iyi” olan kritik bölgenin çok iyi bir yaklaşığıdır.
Gördüğümüz üzere, istatistiksel çıkarımın genel bir kuramını kurmak için, aşağıdaki üç adım atılmalıdır:
1. İstatistiksel çıkarım genel sorununun açık ve kesin bir biçimde belirtilmesi.
2. İstatistiksel karar verme en iyi yönteminin, yani istatistiksel en iyi karar işlevinin tanımlanması.
3. “En iyi” istatistiksel karar işlevinin hesaplanmasına ilişkin matematiksel sorunun çözümü.
Burada açıkladığımız istatistiksel çıkarım sorunu, uygulamadaki sorunları yeterince kapsayacak genişlikte gibidir. İkinci adım, belli bir ölçüde her zaman isteğe göre olacaktır. En iyi karar işlevinin burada verilen tanımı yeterli gibidir. Dahası, belli kısıtlayıcı koşullar altında, “en iyi” karar işlevine ilişik risk işlevinin değişmez olması, yani \(\Omega\)’nın tüm bireyleri için aynı değeri alması gibi önemli bir özelliği vardır. Ancak, araştırılmaya değer en iyi karar işlevinin başka tanımları da olabilir. Risk işlevinin belli bir ortalamasını en küçük yapan karar işlevleri özel ilgi konusu olabilir. Üçüncü adıma ilişkin, henüz çözülmemiş bir çok matematiksel sorun bulunmaktadır.
_________________
*Bu kuram, \(\Omega\)’nın k-ölçümöteli bir aile olduğu durum için [16]’da geliştirilmiştir.